Инвариантность Статистической Процедуры

- эквивариантность (см. Ниже) какого-либо решающего правила в статистич. Задаче, постановка к-рой допускает группу Gсимметрии, относительно этой группы G. Понятие И. С. П. Возникает в первую очередь в так наз. Параметрич. Задачах математич. Статистики, когда имеется априорная информация. Распределение вероятностей Р(dm )исходов ш наблюдений принадлежит известному семейству {Рq ,}. Говорят, что статистич. Проблема решения G-э квивариантна относительно группы Gизмеримых преобразований gизмеримого пространства (W, BW). Исходов, если выполнены условия. 1) существует гомоморфизм f группы Gна нек-рую группу Gпреобразований пространства в параметров со свойством 2) существует гомоморфизм hгруппы Gна нек-рую группу Gизмеримых преобразований измеримого пространства (D, В D) решений d, со свойством где L(Q, d)- функция потерь.

3) вся дополнительная априорная информация о возможных значениях параметра (априорная плотность р(0), разбиение на альтернативы Q=QЪ . ЪQs и т. П.) G-инвариантна или G-эквивариантна. При этих условиях решающее правило d . Безразлично детерминированное или рандомизированное, наз. Инвариантной (точнее G-э квивариантной) процедурой, если Риск эквивариантной решающей процедуры d является G-инвариантом, в частности он не зависит от q, если группа Gдействует на в транзитивно. Как правило, в параметрич. Задачах не существует гарантированно наилучшей решающей процедуры, к-рая минимизировала бы риск при каждом значении параметра В частности, процедура может приводить к очень малым значениям риска для нек-рых 6 за счет ухудшения качества при других априори столь же возможных значениях параметра.

Эквивариантность в какой-то степени обеспечивает беспристрастность подхода. Когда группа Gдостаточно богата, существует оптимальная инвариантная процедура с равномерно наименьшим среди инвариантных процедур риском. Инвариантные процедуры широко применяются в проверке гипотез (см. Также Инвариантный критерий )и в оценивании параметра закона распределения. Так, в задаче оценки неизвестного вектора средних для семейства m-мерных нормальных законов с единичной матрицей ковариаций и гауссовой функцией потерь оптимальной эквивариантной оценкой будет обычное выборочное среднее Группой Gздесь служит произведение группы SN перенумерации наблюдений и группы Ort (m) движений евклидова пространства Rm. При в задаче существуют неэквивариантные оценки, приводящие к меньшему, чем у х*, риску при всех a, однако область существенной "сверхэффективности" оказывается незначительной и безгранично уменьшается с ростом объема Nвыборки.

Возможность сверхэффективных процедур связана с некомпактностью G. Эквивариантные статистич. Процедуры возникают также в ряде непараметрич. Задач статистики, когда априорное семейство распределений Рисходов существенно бесконечномерно, а также при построении доверительных множеств ,для параметра 0 распределения при наличии мешающих параметров. Лит.:[1] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. С англ., М., 1964. Н. Н. Ченцов..