Интегральный Инвариант

степени к(порядка k)гладкой динамической системы - а) абсолютный И. И. Внешняя дифференциальная форма j степени к, переходящая в себя под действием преобразований, образующих эту систему. Б) относительный И. И. Внешняя дифференциальная форма j степени k, внешний дифференциал к-рой является абсолютным И. И. (имеющим уже степень k+1). Обычно речь идет об И. И. Для потока {St}, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений x=f(x), где f - гладкое векторное поле, заданное в нек-рой области евклидова пространства (или многообразия). В терминах координат (локальных координат в случае многообразия) эта система имеет вид Важный пример И. И.- форма объема (f=p(x)dx1dxn [где р(х)- положительная локально интегрируемая (часто даже непрерывная или гладкая) функция координат].

При гладкой р эта форма является абсолютным И. И. Системы (1), если В этом случае поток имеет инвариантную меруm(A) = к-рая в терминах (локальных) координат задается своей плотностью р (х)(последнюю, допуская нек-рую вольность речи, тоже часто наз. И. И.). Гамилътонова система с (обобщенными) импульсами и координатами р i, qi, i=1, ..., т, имеет относительный И. И. и абсолютный И. И. Этот факт можно положить в основу определения гамильтоновых систем и использовать при развертывании их теории, ибо многие специфич. Особенности последней непосредственно связаны с этими И. И. (см.[4], [5]). Внешние степени wk (в том числе и форма объема wm) являются абсолютными, а произведения ywk -относительными И. И. Любой гамильтоновой системы, поэтому их наз.

Универсальными И. И. Гамильтоновых систем. С точностью до множителя все универсальные И. И. Гамильтоновых систем сводятся к указанным (см. [4], [7]). Если система (1) имеет абсолютный И. И. J степени к, то для любой k-мерной гладкой цепи с (напр., гладкого k-мерного многообразия) Если же система (1) имеет относительный И. И., то (2), вообще говоря, имеет место лишь тогда, когда цепь является границей цепи размерности k+l. Иногда относительный И. И. Определяют несколько более сильным требованием, чтобы (2) выполнялось для всех циклов с. Первоначально И. И. Были определены А. Пуанкаре (см. [1], [2]) именно как интегралы указанного выше типа, остающиеся инвариантными, когда область интегрирования движется под действием потока.

Все сказанное легко распространяется на неавтономные системы x=f(x, t). Более существенной является модификация понятия И. И., предложенная Э. Картаном (В. Cartan. [3]) и связанная с переходом (даже в автономном случае) к расширенному фазовому пространству (к обычным фазовым переменным добавляется время), в к-ром интегральные кривые рассматриваемой системы дифференциальных уравнений образуют нек-рое семейство линий (конгруэнцию). Э. Картан требует, чтобы интеграл формы ф по цепи с(или по циклу, если речь идет об относительном И. И.) оставался неизменным, когда каждую точку сдвигают вдоль интегральной кривой, проходящей через эту точку. При этом различные точки можно сдвигать по-разному, лишь бы это было гладкой деформацией цикла с.

(Напр., в новом смысле относительным И. И. Гамильтоновой системы является не y, а весьма полезный интегральный инвариант Пуанкаре- Картан а -Hdt, где H- гамильтониан, см. [3]-[5].) Родственное определение дано в [6]. Лит.:[1] Poincare H., "Acta math.", 1890. T. 13, p. 1-270. [2] Пуанкаре А., Избр. Тр., пер. С франц., т. 2, М., 1972. [3] Картан Э., Интегральные инварианты, пер. С франц., М.- Л., 1940. [4] Гантмахер Ф. Р., Лекции по аналитической механике, М., 1960. [5] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974. [6] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. С франц., М., 1973. [7] Hwa-Chung Lee, "Proc. Roy. Soc. Edinbourgh", ser. A, 1947, v. 62, p. 237 - 46. Д. В. Аносов,.