Локализация

в коммутативной алгебре - переход от коммутативного кольца Ак частных кольцу A[S-1], где S- нек-рое подмножество А. Кольцо A[S-1]можно определить как решение задачи об универсальном отображении Ав кольцо, при к-ром все элементы множества S становятся обратимыми. Имеются, однако, и явные конструкции А[S-1]. 1) как множества дробей вида a/s, где a s является произведением элементов из S(при этом две дроби a/s и a'/s' считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда найдется s", являющийся произведением элементов из Sи такой, что складываются и умножаются дроби по обычным правилам). 2) как факторкольцо кольца многочленов A[Xs], по идеалу, порожденному многочленами 3) как индуктивный предел индуктивной системы A-модулей где iпробегает естественно упорядоченный свободный коммутативный моноид N(s).

При этом все А i изоморфны А, а гомоморфизмы ->. Совпадают с умножением на Кольцо Аканонически отображается в A[S-1]и превращает последнее кольцо в А-алгебру. Это отображение инъективно тогда и только тогда, когда S не содержит ни одного делителя нуля в А, Напротив, если Sсодержит нильпотентный элемент, то A[S-1]=0. Без потери общности множество Sможно считать замкнутым относительно произведения (такое множество наз. Мультипли кативным, или мультипликативной системой). В этом случае кольцо A[S-1]обозначается также S-1A или AS- Важнейшие примеры мультипликативных систем. а) множество {sn} всех степеней элементов б) множество то есть дополнение к простому идеалу Соответствующее кольцо частных является локальным и обозначается в) множество Rвсех не делителей нуля в А.

Кольцо R-1A наз. Полным кольцом частных кольца А. Если Ацелостно, R-1A=A(0) является полем частных. Операция локализации без труда переносится на произвольные A-модули М, если положить Переход от Мк М[S-1]является точным функтором. Иначе говоря, A-модуль A[S-1]является плоским. Л. Коммутирует с прямыми суммами и индуктивными пределами. С геометрич. Точки зрения Л. Означает переход к открытому подмножеству. Точнее, для спектр Spec A[s-1]канонически отожествляется с открытым (в Зариского топологии).подмножеством состоящим из простых идеалов не содержащих s. Более того, эта операция позволяет связать с каждым A-модулем Мквазикогерентный пучок на аффинной схеме Spec A, для к-рого На Л. Можно смотреть как на операцию, позволяющую обратить морфизмы умножения на в категории A-модулей.

При таком подходе операция Л. Допускает широкое обобщение на произвольные категории (см. Локализация в категориях). Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. В. И- Данилов. .