Неограниченный Оператор

- отображение Амножества Мтопологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y такое, что существует ограниченное множество , образ к-рого есть неограниченное множество в Y. Простейшим примером Н. О. Является оператор дифференцирования , определенный на множестве всех непрерывно дифференцируемых функций пространства всех функций, непрерывных на , так как оператор переводит ограниченное множество в неограниченное множество . Н. О. Анеобходимо разрывен в нек-рых (а если Алинеен, то и во всех) точках своей области определения. Поэтому важным классом Н. О. Являются замкнутые операторы, обладающие свойством, в нек-рой степени заменяющим свойство непрерывности. Пусть Аи В- Н. О. С областями определения DA и .

Если , то на этом пересечении определен оператор (или ), и аналогично, если , то определен оператор . В частности, таким образом определяются степени Н. О. А. Оператор Вназ. Расширением оператора А, , если и для . Так, . Перестановочность двух операторов обычно рассматривается для того случая, когда один из операторов ограничен. Н. О. Аперестановочен с ограниченным оператором В, если . Для линейных Н. О. Определяется понятие сопряженного оператора. Пусть Н. О. А, заданный на множестве DA , плотном в топологическом векторном пространстве X, действует в топологическое векторное пространство Y. Если и - пространства, сильно сопряженные соответственно с Xи Y, и - совокупность линейных функционалов , для к-рых существует линейный функционал такой, что при всех , то соответствие определяет на (к-рое, впрочем, может состоять лить из нулевого элемента) пространства оператор , наз.

Оператором, сопряженным с А. Лит.:[1] Иосида К., Функциональный анализ, пер. С англ., М., 1967. [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. С англ., М., 1962. [3] Рисе Ф-, Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, 2 изд., пер. С франц., М., 1979. [4] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965. [5] Нейман Д ж., Математические основы квантовой механики, пер. С нем., М., 1964. В. И. Соболев..