Нормальная Форма

- 1) Н. Ф. Матрицы A - матрица Nзаранее определенного специального вида, получаемая из Ас помощью преобразований определенного типа. В зависимости от рассматриваемого типа преобразований, от области K, к к-рой принадлежат коэффициенты А , от вида Аи, наконец, от специфики решаемой задачи (напр., от желания расширять или не расширять Kпри переходе от Ак N, от необходимости определить N по А однозначно пли, наоборот, с нек-рым произволом) рассматриваются и различные Н. Ф. Часто вместо термина "Н. Ф." употребляют термины "каноническая форма", "канонический вид". К числу классических Н. Ф. Относятся следующие (ниже через обозначается множество всех матриц из тстрок и пстолбцов с коэффициентами из K). Нормальная форма Смита.

Пусть K- либо кольцо целых рациональных чисел, либо кольцо многочленов от с коэффициентами из поля F. Матрица наз. Эквивалентной матрице , если найдутся такие обратимые матрицы и , что . Матрица . Вэквивалентна А тогда и только тогда, когда Вможет быть получена из Ас помощью последовательности элементарных строчных и столбцовых преобразований, т. Е. Преобразований следующих трех типов. А) перестановка строк (столбцов). Б) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) с множителем из K;в). Умножение строки (столбца) на обратимый элемент кольца K. Для преобразований этого типа справедливо следующее утверждение. Всякая матрица эквивалентна матрице вида где при всех делит при и если , то все положительны, а если , то старшие коэффициенты всех многочленов равны 1.

Указанная матрица Nназ. Нормальной формой Смита матрицы А. Элементы наз. Инвариантными множителями матрицы А, а число r- ее рангом. Нормальная форма Смита определена по Аоднозначно и может быть найдена следующим образом. Ранг Аравен порядку наименьшего ненулевого минора матрицы А. Пусть . Тогда среди всех миноров порядка матрицы Аимеется хоть один ненулевой. Пусть , - наибольший общий делитель всех ненулевых миноров порядка jматрицы А(нормированный условием, что при и что старший коэффициент многочлена j равен 1 при ) и пусть . Тогда Инвариантные множители являются полным набором инвариантов классов эквивалентных матриц. Две матрицы из эквивалентны тогда и только тогда, когда у них совпадают ранги и инвариантные множители с равными номерами.

Инвариантные множители раскладываются (единственным способом с точностью до порядка сомножителей) в произведение степеней неприводимых в кольце К элементов (являющихся нек-рыми целыми положительными числами, большими 1, если , и нек-рыми многочленами положительной степени со старшим коэффициентом 1, если ), где - целые неотрицательные числа. Каждый множитель , для к-рого , наз. Элементарным делителем матрицы А(над К). Каждый элементарный делитель входит в совокупность всех элементарных делителей матрицы Астолько раз, в разложении скольких инвариантных множителей он встречается. Элементарные делители, в отличие от инвариантных множителей, зависят от того, над каким кольцом Крассматривается А. Если - нек-рое расширение поля то матрица имеет, вообще говоря, различные элементарные делители (но одинаковые инвариантные множители) в зависимости от того, рассматривается ли A как элемент или как элемент .

Инвариантные множители восстанавливаются по полному набору элементарных делителей и наоборот. Практический способ нахождения нормальной формы Смита см., напр., в [1]. Указанный основной результат о нормальной форме Смита получен для (см. [71), для (см.[8]). Практически без изменений теория нормальных форм Смита переносится на случай, когда К- любое кольцо главных идеалов (см. [3], [6]). Нормальная форма Смита имеет важные приложения, напр, на ней по существу основывается структурная теория конечно порожденных модулей над кольцами главных идеалов (см. [3], [6]) и, в частности, теория конечно порожденных абелевых групп и теория жордановой Н. Ф. (см. Ниже). Естественная нормальная форма. Пусть К- поле. Две квадратные матрицы и наз.

Подобными над К, если найдется такая невырожденная матрица Имеется тесная связь между подобием и эквивалентностью. Матрицы .подобны тогда и только тогда, когда матрицы , где Е- единичная матрица, эквивалентны. Таким образом, для подобия Аи Внеобходимо и достаточно совпадения инвариантных множителей или, что то же,- наборов элементарных делителей над у матриц Практический способ нахождения матрицы Сдля подобных матриц Аи Всм. В [1], [4]. Матрица наз. Характеристической матрицей матрицы а инвариантные множители наз. Инвариантами подобия матрицы А. Их пштук. Пусть - инварианты подобия матрицы А. Многочлен равен определителю матрицы и наз. Характеристическим многочленом матрицы А. Пусть а степень при больше 1. Тогда справедливо утверждение.

Матрица Аподобна над Кблочнодиагональной матрице вида где через для многочлена обозначена т. Н. Сопровождающая матрица многочлена Матрица определена по Аоднозначно и наз. Первой естественной Н. Ф. Матрицы А(см. [1], [2]). Пусть теперь - набор всех элементарных делителей матрицы . Тогда справедливо следующее основное утверждение. Матрица Аподобна над Кблочнодиагональной матрице N2, блоки к-рой - это сопровождающие матрицы всевозможных элементарных делителей матрицы . Матрица определена по Алишь с точностью до порядка следования клеток по главной диагонали. Она наз. Второй естественной Н. Ф. Матрицы А(см. [1], [2]), а также еефробениусовой, рациональной, канонической и квазиестественной Н. Ф. (см. [4]). В отличие от первой естественной Н.

Ф., вторая естественная Н. Ф., вообще говоря, меняется при переходе от поля Кк его расширению. Жорданова нормальная форма. Пусть К - поле, - набор всех элементарных делителей матрицы над . Пусть Кобладает тем свойством, что характеристич. Многочлен dn матрицы Араскладывается в на линейные множители (так будет, напр., если К- поле комплексных чисел или, более общо, любое алгебраически замкнутое поле). Тогда каждый из многочленов имеет вид для нек-рого , а элементарный делитель соответственно имеет вид . Матрица иа вида где наз. Г пперсопровождающей матрицей многочлена f (см. [1]), или жордановой клеткой порядка s с собственным числом а. Справедливо следующее фундаментальное утверждение. Матрица Аподобна над Кблочнодиагональной матрице блоки к-рой - это гиперсопровождающие матрицы всевозможных элементарных делителей матрицы Матрица J определена лишь с точностью до порядка следования клеток на главной диагонали.

Она является жордановой матрицей и наз. Жордановой Н. Ф. Матрицы А. Если Кне обладает указанным выше свойством, то Анельзя привести над Кк жордановой Н. Ф. (но можно над нек-рым конечным расширением К). О так наз. Обобщенной жордановой Н. Ф., приведение к к-рой возможно уже над любым полем К, см. [4]. Помимо различных теорий Н. Ф. Для произвольных матриц возможны соответствующие теории и для матриц какого-либо специального вида. Классическими примерами являются теории Н. Ф. Симметрия, и косо-симметрич. Матриц. А именно, пусть К- поле. Две матрицы наз. Конгруэнтными (см. [1]), если найдется такая невырожденная матрица что Н. Ф. Относительно отношения конгруэнтности наиболее исследованы для классов симметрич. И кососимметрич. Матриц. Пусть и А- кососимметрич.

Матрица, т. Е. . Тогда Аконгруэнтна однозначно определенной матрице H вида к-рая может рассматриваться как Н. Ф. Аотносительно отношения конгруэнтности. Если же А- симметрич. Матрица, т. Е. То она конгруэнтна матрице Dвида где при всех i. Число r равно рангу Аи определено однозначно, а дальнейшее уточнение выбора элементов ei зависит от свойств поля К. Так, если Калгебраически замкнуто, то можно считать, что если К- поле действительных чисел, то можно считать, что для нек-рого р. Этими свойствами Dуже определена однозначно и может рассматриваться как Н. Ф. Аотносительно отношения конгруэнтности. О Н. Ф. Симметрич. Матриц для ряда других полей, а также об эрмитовых аналогах этой теории см. [6], [10] и ст. Квадратичная ферма. Объединяющим обстоятельством в рассмотренных (а также и других) теориях Н.

Ф. Является то, что допустимые преобразования над рассматриваемым множеством матриц определяются действием нек-рой группы, так что классы матриц, переводимых друг в друга с помощью этих преобразований,- орбиты этой группы, а указание Н. Ф. Есть выделение в каждой орбите нек-рого канонич. Представителя. Так, классы эквивалентных матриц - орбиты группы (где - группы обратимых квадратных матриц порядка sс коэффициентами из К), действующей на по правилу где . Классы подобных матриц - это орбиты группы на действующей по правилу. Классы конгруэнтных симметрич. Или кососимметрич. Матриц - это орбиты группы GLn(K)на множестве всех симметрич. Или кососимметрич. Матриц порядка п, действующей по правилу где С этой точки зрения каждая теория Н.

Ф. Является конкретным примером решения части общей задачи орбитального разложения для действия нек-рой группы преобразований. Лит.:[1] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. С англ., М., 1972. [2] Ланкастер П., Теория матриц, пер. С англ., М., 1978. [3] Ленг С, Алгебра, пер. С англ., М., 1968. [4] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975. [5] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. С франц., М., 1962. [6] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. С франц., М., 1966. [7] Smith H. J., The Collected Mathematical Paper, v. 1, Oxf., 1894, p. 367-409. [8] Frоbenius G., "J. Reine und angew. Math.", 1879, Bd 86, S. 146-208. [9] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966.

[10] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. С франц., М., 1972. В. Л. Попов. 2) Н. Ф. Оператора - представление с точностью до изоморфизма самосопряженного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве , в виде ортогональной суммы операторов умножения на независимую переменную. Пусть, сначала, А- циклический оператор. Это означает, что существует элемент такой, что любой элемент однозначйо представим в виде - нек-рая функция такая, что здесь - спектральная функция оператора А. Пусть - пространство функций, суммируемых с квадратом на с весом и - оператор умножения на независимую переменную с областью определения Тогда операторы Аи Кизоморфны,, т. Е. Существует изоморфное и изометрич. Отображение такое, что Пусть, теперь, А - произвольный самосопряженный оператор.

Тогда Нможно разложить в ортогональную сумму инвариантных подпространств , на каждом из к-рых Аиндуцирует циклич. Операторы , так что Если на задать оператор то Оператор Кназ. Нормальной формой, пли каноническим представлением, оператора А. Теорема о канонич. Представлении распространяется на случай произвольных нормальных операторов. Лит.:[l] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965. [2] Ахиезер Н. И., Глазпан И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966. В. И. Соболев. 3) Н. Ф. Оператора - представление оператора А, действующего в Фока пространстве, построенном над нек-рым пространством где - пространство с мерой, в виде суммы где - операторнозначные обобщенные функции, порождающие семейства операторов уничтожения и рождения В выражении (1) в каждом слагаемом множители a(yj), j = 1, ..., т, стоят правее всех множителей а*( х i), i=1,..., п, функции (возможно обобщенные) К п , т( х 1 , ..., х п .

Y1, ..., у т )от двух наборов переменных ( х 1 , ...,х п)М n, ( у 1 ,..., у т )М т, n, m=0, 1,2, ..., в случае симметричного (бозонного) пространства Фока симметричны по переменным каждого из наборов в отдельности, а в случае антисимметричного (фермионного) пространства Фока - антисимметричны по этим переменным. Для любого ограниченного оператора Анормальная форма существует и единственна. Представление (1) можно переписать в виде, непосредственно содержащем операторы уничтожения и рождения. где - нек-рый ортонормированный базис в , и суммирование в (2) происходит по всем парам конечных наборов элементов этого базиса. В случае произвольного (сепарабельного) гильбертова пространства НН. Ф. Оператора А, действующего в пространстве Фока Г (H), построенном над H, определяется при фиксированном базисе в Нс помощью выражения (2), где - семейства операторов уничтожения и рождения, действующих в Г (H).

Лит.:[1] Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, М., 1965. Р. А. Миплос. 4) Н. Ф. Рекурсивной функции - способ задания n-местной рекурсивной функции j в виде где f есть (n+1)-местная примитивно рекурсивная функция, g- одноместная примитивно рекурсивная функция,- результат применения наименьшего числа оператора к функции f. Теорема Клини о Н. Ф. Утверждает. Существует такая примитивно рекурсивная функция g, что каждая рекурсивная функция представима в виде (*) с подходящей функцией f, зависящей от , т. Е. Теорема о Н. Ф. Является одной из важнейших теорем в теории рекурсивных функций. А. А. Марков [2] получил характеристику тех функций g, к-рые могут использоваться в теореме о Н. Ф. В представлении (*). Функция gтогда и только тогда может использоваться в качестве функции, существование к-рой утверждается в теореме о Н.

Ф., когда уравнение g(x)= ппри любом пимеет бесконечно много решений. Такие функции наз. Функциями большого размаха. Лит.:[l] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965. [2] Марков А. А., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1949, т. 13, № 5, с. 417-24. В. Е. Плиско. 5) Н. Ф. Системы дифференциальных уравнений вблизи инвариантного многообразия М- такая формальная система к-рая получается из (1) обратимой формальной заменой координат и в к-рой ряды Тейлора - Фурье yi содержат только резонансные члены. Впервые Н. Ф. Для одного случая встречается в диссертации А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [1]). Посредством Н. Ф. (2) нек-рые системы (1) интегрируются, многие исследуются на устойчивость и интегрируются приближенно, для систем (1) отыскиваются периодич.

Решения и семейства условно перио-дич. Решений, изучаются их бифуркации. // .