Нормально Разрешимый Оператор

- линейный оператор с замкнутой областью значений. Пусть А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Xобластью определения и с областью значений R(А)в банаховом пространстве Y. Тогда А- Н. Р. О., если т. Е. Если R(A)является замкнутым подпространством в Y. Пусть - оператор, сопряженный к А. Для того чтобы Абыл Н. Р. О., необходимо и достаточно, чтобы т. Е. чтобы область значений Аявлялась ортогональным дополнением к подпространству нулей оператора Пусть дано уравнение с Н. Р. О. (нормально разрешимое уравнение). Если т. Е. Однородное сопряженное уравнение имеет только тривиальное решение, то R(A)=Y. Если же то для разрешимости (*) необходимо и достаточно, чтобы для всех решений уравнения Пусть ниже А- замкнутый оператор.

Н. Р. О. Аназ. п- нормальным, если его подпространство нулей N(А)конечномерно Н. Р. О. Аназ. D-нормальным, если его дефектное подпространство конечномерно . N-нормальные и d-нормальные операторы наз. Иногда полуфредгольмовыми. Для того чтобы оператор Абыл n-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого компактного множества из R(А). Был локально компактным. Пусть Xкомпактно вложено в банахово пространство . Для га-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки Оказывается, оператор А d -нормален тогда и только тогда, когда n-нормален. При этом Следовательно, если компактно вложено в банахово пространство Z, то для d-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки Пара чисел (п(А), d(A))наз.

(d-характеристикой оператора А. Если Н. Р. О. А n -нормален или d-нормален, то число наз. Индексом оператора А. Свойства n-нормальности и d-нормальности устойчивы. Если А- п-нормален (d-нормален), а В - линейный оператор малой нормы или вполне непрерывный, то A+В n-нормален (d-нормален). Лит.:[1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. С нем., М.- Л., 1937, с. 266 - 90. [2] Аткинсон Ф., "Матем. Сб.", 1951, т. 28, № 1, с. 3-14. [3] Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971. В. А. Треногий..