Нормальное Аналитическое Пространство

- аналитическое пространство, локальные кольца всех точек к-рого нормальны, т. Е. Являются цело-вамкнутыми областями целостности. Точка ханалитич. Пространства Xназ. Нормальной (говорят также, что Xнормально в точке х), если локальное кольцо нормально. В окрестности такой точки пространство обладает приведенной и неприводимой локальной моделью. Любая простая (неособая) точка является нормальной. Простейший пример Н. А. П. - аналитическое многообразие. В дальнейшем основное (полное недискретно нормированное) поле kпредполагается алгебраически замкнутым. В этом случае получены наиболее полные результаты о Н. А. П. (см. [1]) и построена теория нормализации [2], к-рая естественным образом связывает с произвольным приведенным аналитическим пространством некоторое Н.

А. П. Пусть N(X)- множество точек аналитич. Ространства X, не являющихся нормальными, a S(X) - множество особых точек в X. Тогда. 1) N(X)и S(X) - замкнутые аналитич. Одмножества в X, причем 2) для выполняется неравенство (т. Е. Н. А. П. Гладко в коразмерности 1). 3) если Xявляется полным пересечением в точке хи выполнено предыдущее неравенство, то Xнормально в этой точке. Нормализацией приведенного аналитич. Ространства Xназ. Пара где - Н. А. П., а - конечное сюръективное аналитич. Отображение, индуцирующее изоморфизм открытых множеств Нормализация определена однозначно с точностью до изоморфизма, т. Е. Если и - две нормализации, то существует единственный аналитич. Изоморфизм такой, что диаграмма коммутативна. Нормализация существует и обладает следующими свойствами.

Для каждой точки множество неприводимых компонент пространства Xв точке хнаходится во взаимно однозначном соответствии с . Слой прямого образа структурного пучка в точке естественно изоморфен целому замыканию кольца в его полном кольце частных. Понятие Н. А. П. Над может быть введено в терминах аналитич. Родолжения голоморфных функций [3]. Именно, приведенное комплексное пространство нормально тогда и только тогда, когда для него справедлива первая теорема Римана об устранении особенностей. Если - открытое подмножество, а - замкнутое аналитич. Одмножество, не содержащее неприводимых компонент множества U, то любая функция, голоморфная на и локально ограниченная на U, допускает единственное аналитич. Родолжение до голоморфной функции на U.

Для нормальных комплексных пространств верна также ивторая теорема Римана об устранении особенностей. Если в каждой точке , то упомянутое аналитич. Родолжение возможно без требования ограниченности функции. Приведенное комплексное пространство Xнормально тогда и только тогда, когда для любого открытого множества отображение ограничения голоморфных функций биективно. Свойство нормальности можно сформулировать также на языке локальных когомологий - оно равносильно, равенству (см. [5]). Для любого приведенного комплексного пространства Xможно определить пучок колец ростков слабоголоморфных функций, т. Е. Функций, удовлетворяющих условиям первой теоремы Римана. Оказывается, что кольцо конечно как -модуль и равно целому замыканию кольца в его полном кольце частных.

Иными словами, где - отображение нормализации. Нормальное комплексное пространство можно охарактеризовать также следующим образом. Комплексное пространство нормально тогда и только тогда, когда каждая его точка обладает окрестностью, допускающей аналитич. Аложение на область пространства С n (см. [3], [8]). Приведенное комплексное пространство Xявляется Штейна пространством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его нормализация (см. [4]). На нормальные комплексные пространства может быть распространено понятие метрики Ходжа (см. Кэлера метрика). На компактные нормальные пространства с такой метрикой переносится теорема Кодаиры о проективном вложении [6]. В алгебраич. Геометрии рассматриваются аналоги Н.

А. П.- нормальные алгебраич. Многообразия (см. Нормальная схема). Для алгебраич. Многообразий над полным недискретным нормированным полем оба понятия совпадают (см. [7], [1]). Лит.:[1] Abhуankar S. S., Local analytic geometry, N. Y.- L., 1964. [2] Hоuzel С, в кн. Seminaire H. Cartan, 13 annee. 1960/61, t. 2, P., 1963, exp. 18-21. [3] Grauert H. Remmert R., "Math. Ann.", 1958, Bd 136, S. 245-318. [4] Nаrasimhan R., "Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa", 1962, v. 16, p. 327-33. [5] Sin Y. Т., Тrautmann G., Gapsheaves and extension of coherent analytic subsheaves, B.-Hdlb.- N. Y., 1971. [6] Грауэрт Г., в кн. Комплексные пространства. Сб. Пер., М., 1965, с. 45-104. [7] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. С англ., т. 2, М., 1963. [8] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, М., ч.

1, 1962..