Остроградского Формула

.- формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n-кратным интегралом по области и ( п -1)-кратным интегралом но ее границе. Пусть функции Xi=Xi(x1,x2,..., х п).вместе со своими частными производными , i=1, 2,..., п, интегрируемы по Лебегу в ограниченной области , граница к-рой является объединением конечного множества кусочно гладких ( п-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней нормали V. Тогда О. Ф. Имеет вид Если - направляющие косинусы внешних нормалей v гиперповерхностей, составляющих границу области G, то формула (1) может быть записана в виде где - элемент n-мерного объема в , a ds - алемент (n - 1)-мерного объема на .

В терминах векторного ноля формулы (1) и (2) означают равенство интеграла от дивергенции этого поля по области G его потоку (ем. Поток векторного поля) через границу области G. Для гладких функций О. Ф. Была впервые получена в трехмерном случае М. В. Остроградским в 1828 (опубл. В 1831, см. [1]). Па n-кратные интегралы в случае произвольного натурального n О. Ф. Была обобщена мм в 1834 (опубл. В 1838, см. [2]). С помощью этой формулы М. В. Остроградский нашел выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла. При n=3 для одного частного случая О. Ф. Была получена К. Гауссом (С. Gauss) в 1813 , поэтому иногда О. Ф. Наз. Также формулой Остроградского - Гаусса.

Обобщением О. Ф. Является С такса формула для многообразий с краем. Лит.:[1] Остроградский М. В., "Memoires de Г Academic dcs Sciences de St. Petersbourg. Ser. 6 - Sciences mathematiques, physiques ct naturelles", 1831, t. 1, p. 117-22. [2] его ж с, там же, 1838, t. 1, p. 35-58. Л. Д. Кудрявцев.