Равномерная Алгебра

замкнутая относительно равномерной сходимости подалгебра Аалгебры С(X).всех непрерывных комплексных функций на компакте X, содержащая все функции-константы и разделяющая точки компакта X. Последнее условие означает, что для каждой пары x, уразличных точек из Xв алгебре Аимеется функция f, для к-рой Р. А. Обычно снабжают sup-нормой. При этом ||f2|| = ||f||2. Каждая банахова алгебра с единицей (даже без предположения коммутативности), норма в к-рой подчинена последнему условию, изоморфна нек-рой Р. А. Р. А. Составляют важный подкласс класса коммутативных банаховых алгебр над полем С комплексных чисел. Каждой точке отвечает гомоморфизм jx . А , действующий по правилу j х (f) = f(x). Поэтому Xестественно топологически вкладывается в пространство максимальных идеалов алгебры Аи при соответствующем отождествлении поглощает границу Шилова.

При изучении Р. А. Важную роль играют точки пика (т. Е. Такие точки из X, в к-рых достигается строгий максимум модуля хотя бы для одного элемента из А), мультипликативные вероятностные меры на X(т. Е. Представляющие меры гомоморфизмов из Л в ) и ортогональные к Амеры на X. Многие конкретные результаты, относящиеся к Р. А., касаются связей между этими объектами. Р. А. Наз. Симметричной, если вместе с каждой функцией к алгебре принадлежит и комплексно сопряженная ей функция. Согласно теореме Стоуна - Вейерштрасса, каждая симметричная Р. А. На компакте Xсовпадает с С(Х). Полярный класс составляют т. Н. Антисимметричные Р. А., вовсе не содержащие действительных функций, кроме констант. Типичный пример - алгебра всех функций, аналитических в открытом единичном диске комплексной плоскости и непрерывных в его замыкании (диск-алгебра).

Теорема Шилова - Бишопа. Каждая Р. А. Определенным способом может быть "склеена" из антисимметричных. Известны и более тонкие классификационные теоремы. Вместе с тем произвольные Р. А. Не сводятся к алгебрам аналитич. Ций типа диск-алгебра. Напр., можно сконструировать такую Р. А. На одномерном компакте, который совпадает с ее пространством максимальных идеалов, что все точки компакта являются точками пика и одновременно среди элементов алгебры только тождественный нуль может принимать нулевое значение на непустом открытом подмножестве . Лит.:[1] Гамелин Т., Равномерные алгебры, пер. С англ., М., 1973. Е. А. Горин.