Тригонометрические Функции

класс элементарных функций. Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно. Sin x,cos x, tg x,ctg x, sec x,cosec x. Тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть А - точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, - угол между осью абсцисс и вектором ОА, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 1). При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке - отрицательной, т. Е. - полярный угол точки А. Если - прямоугольные декартовы координаты точки А, то Т. Ф. Синус и косинус определяются формулами Остальные Т. Ф. Могут быть определены формулами Все Т.

Ф.- периодические функции. Графики Т. Ф. Даны на рис. 2. Основные свойства Т. Ф. Область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл. Функция Область определения Множество значений Четность Участки монотонности sinx [-1, +1] нечетная возрастает при . Убывает при cosx [-1, +1] четная возрастает при убывает при tg x нечетная возрастает при ctg x нечетная убывает при sec x четная возрастает при убывает при соsес x нечетная возрастает при убывает при Каждая Т. Ф. В каждой точке своей ооласти определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Производные Т. Ф. Интегралы от Т. Ф. Все Т.

Ф. Допускают разложение в степенные ряды. при при при 0 <. |х|<. (Bn - числа Бернулли). Функция y=sinx, являющаяся обратной по отношению к функции z=sin у, определяет . Как многозначную функцию от х', она обозначается y=Arcsin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к другим Т. Ф. Все они наз. обратными тригонометрическими функциями. Тригонометрические функции комплексного переменного. Т. Ф. Для комплексных значений переменного z=x+iy определяются как аналитические продолжения соответствующих Т. Ф. Действительного переменного в комплексную плоскость. Так, sinz и cosz можно определить с помощью рядов для sinxи cos х. Эти ряды сходятся во всей плоскости, поэтому sinz и cosz- целые функции. Т. Ф.

Тангенс и котангенс определяются формулами Т. Ф. Tg z и ctg z - мероморфнае функции. Полюсы tg zпростые (1-го порядка) и находятся в точках полюсы ctg z также простые и находятся в точках Все формулы, справедливые для Т. Ф. Действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплексного аргумента. В отличие от Т. Ф. Действительного переменного, функции sin zи cos z принимают все комплексные значения. Уравнения sin z=a и cos z=a имеют решения для любого комплексного а. Т. Ф. Tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме уравнения tg z=o, ctg z=a имеют решения для любого комплексного числа Т. Ф. Можно выразить через показательную функцию. и гиперболические функции:sin z=-.sh iz, cos z=chiz, tg z =- i th iz.

В. И. Битюцков.