Гиперкомплексные числа

обобщение понятия о числе, более широкое, чем обычные Комплексные числа. Смысл обобщения состоит в том, чтобы обычные арифметические действия над такими числами одновременно выражали некоторые геометрические процессы в многомерном пространстве (См. Многомерное пространство) или давали количественное описание каких-либо физических законов. При попытках построить числа, которые играли бы для 3-мерного пространства ту же роль, какую играют комплексные числа для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии. Это привело к созданию и развитию систем Г. Ч. Г. Ч. Представляют собой линейные комбинации (с действительными коэффициентами x1, x2,...,. Xn) некоторой системы, е1, е2..., en «базисных единиц».

X1e1 + x2e2 +. + хпеп (*) подобно тому, как комплексные числа x+iy являются линейными комбинациями двух «базисных единиц». Действительной единицы 1 и мнимой единицы i. Для того чтобы использовать Г. Ч., надо в первую очередь установить правила арифметических действий над ними. Сложение и вычитание Г. Ч., очевидно, получают однозначное определение, если для новых чисел сохранить обычные правила арифметики. Именно, компоненты х1, х2,..., хп «базисных единиц» должны соответственно складываться или вычитаться. Истинное значение проблемы отчётливо выступает только при установлении правила умножения. Для установления почленного перемножения Г. Ч. Вида (*) приходят к необходимости установить значения n2 произведений eiek (i = 1, 2,..., n.

K = 1, 2,..., n). Задача состоит в том, чтобы этим произведениям приписать значения вида (*), сохраняющие в силе все обычные правила арифметических операций. Этому требованию удовлетворяет (кроме простейшего случая действительных чисел) единственная система Г. Ч. — система комплексных чисел. При установлении же всякой другой системы Г. Ч. Необходимо отказаться от того или иного правила арифметики. Обычно такими правилами, терпящими нарушение, оказываются. Однозначность результата деления. Переместительность умножения. Правило, в силу которого равенство нулю произведения двух чисел влечёт за собой обращение в нуль, по крайней мере, одного из сомножителей, и т.п. Важнейшая система Г. Ч. — Кватернионы — получается при отказе от коммутативности (переместительности) умножения и сохранения остальных свойств сложения и умножения.

Лит. Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, гл. 20..