Диофантовы приближения

часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. П. Названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений (См. Диофантовы уравнения). Методы теории Д. П. Основаны на применении непрерывных дробей (См. Непрерывная дробь), Фарея рядов и Дирихле принципа. Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей.

Приближение действительного числа α подходящими дробями pklqk разложения α в непрерывную дробь характеризуется неравенством |α — pk/qk| < 1/qk2. С другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |α — а/b | < 1/2b2, то она является подходящей дробью разложения α в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел α рациональными дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями. К ним прежде всего относится задача об изучении выражений xθ — у — α, где θ и α — некоторые действительные числа, а х и у принимают целые значения (так называемая неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой задачи принадлежат П.

Л. Чебышеву. Среди разнообразных теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. П.) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру. Если α1,..., αn — действительные числа, для которых равенство a1α1 +...+anαn = 0 с целыми a1,..., an возможно лишь при a1 =. = an = 0, a β1,..., βn — некоторые действительные числа, то при любом заданном ε > 0 можно найти число t и такие целые числа х1,..., xn, что выполняются неравенства |tαk - βk - xk| < ε, k = 1,2,..., n. Для решения многомерных задач Д. П. Весьма плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А. Я. Хинчину и др. Учёным построить систематическую теорию многомерных Д. П. Для теории Д.

П. Важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решётку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории Д. П. В вопросах нелинейных Д. П. Замечательные результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. П. Является проблема приближения алгебраических чисел (См. Алгебраическое число) рациональными. К Д. П. Относится теория трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число), в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами.

Теория Д. П. Тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел. Лит. Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, в. 4. Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3. Хинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961. Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936.