Континуума проблема

задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами множеств теории (См. Множеств теория) следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой (К.-г.). Мощность Континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщённая континуум-гипотеза (О. К.-г.) гласит, что для любого множества Р первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества Р. К.-г. Была высказана Г. Кантором в начале 80-х гг. 19 в. Многочисленные попытки доказать К.-г., предпринятые самим Кантором и мн. Выдающимися математиками кон. 19—нач. 20 вв., оказались безуспешными. Сложившаяся ситуация привела ряд крупных математиков (французские математики Р.

Бэр, А. Лебег, советский математик Н. Н. Лузин и др.) к убеждению, что К. П. Не может быть решена традиционными средствами теории множеств. Это убеждение было решающим образом подтверждено точными методами математической логики (См. Логика) и аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств). В 1936 К. Гёдель доказал, что О. К.-г. Совместна с одной естественной системой аксиоматической теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута традиционными средствами. Наконец, в 1963 американский логик П. Коэн, используя изобретённый им т. Н. Метод вынуждения, сумел доказать, что и отрицание К.-г. Совместно с этой системой, так что К.-г. Невозможно доказать с помощью обычных методов теории множеств. Последователи Коэна затем получили методом вынуждения много результатов, проливающих свет на роль К.-г.

И О. К.-г. И их взаимоотношение с др. Теоретико-множественными принципами. Полученные результаты свидетельствуют, что на современном этапе развития теории множеств возможны различные подходы к основаниям этой науки, существенно различным образом отвечающие на естественные проблемы, такие, например, как К. П., возникающие в теории множеств. Лит. Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. С англ., М., 1969. Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. С англ., М., 1966. А. Г. Драгалин.