Метатеорема

(от Мета. Теорема относительно объектов (понятий, определений, аксиом, доказательств, правил вывода, теорем и др.) какой-либо научной теории (т. Н. Предметной, или объектной, теории), доказываемая средствами метатеории (См. Метатеория) этой теории. Термин «М.» употребляется преимущественно в применении к теоремам об объектах формализованных теорий (т. Е. В случае, когда предметная теория является Исчислением, или формальной системой (См. Формальная система)). Если М., относящаяся к какому-либо логико-математическому исчислению, доказывается т. Н. Финитными средствами, ни в какой форме не использующими абстракции актуальной бесконечности, то её относят к метаматематике (См. Метаматематика). Таковы, например, теорема о дедукции для исчисления высказываний или исчисления предикатов, теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики и более богатых систем (см.

Полнота в логике), теорема Чёрча о неразрешимости разрешения проблемы (См. Разрешения проблема) для исчисления предикатов, теорема Тарского о неопределимости предиката истинности для широкого класса исчислений средствами самих этих исчислений. Если же на характер трактуемых в М. Понятий и (или) на средства её доказательства не накладывается никаких финитистских, или конструктивистских (см. Конструктивное направление в математике), ограничений, то такую М. Причисляют к т. Н. Теоретико-множественной логике предикатов. Примеры. Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов, теорема Лёвенхейма — Сколема об интерпретируемости любой непротиворечивой теории на области натуральных чисел и вообще любые предложения, в которых говорится что-либо о «произвольной интерпретации», «совокупности всех интерпретаций», «общезначимости» и т.п.

(в частности, все результаты о категоричности различных систем аксиом, т. Е. Об Изоморфизме произвольных их интерпретаций, удовлетворяющих, быть может, некоторым дополнительным условиям). К М. Относятся и любые теоремы о теоремах содержательных математических теорий, например многочисленные «принципы двойственности» из различных областей математики (проективная геометрия, многие алгебраические теории и др.). Лит. См. При статьях Метаматематика, Метатеория. Ю. А. Гастев.