Многочлен

полином, выражение вида Axkyl…..wm + Bxnyp…..wq + …… + Dxrts…..wt, где х, у, ..., w — переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты М.) и k, l, ..., t (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Отдельные слагаемые вида Ахkyl…..wm называются членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно. Точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене — степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. Имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. Называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены А'хkyl…..wm, B'xkyl…..wm, ….., D'xkyl…..wm можно заменить одним (приведение подобных членов).

Два М. Называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. Оказываются равными нулю. В последнем случае М. Называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. От одного переменного х можно всегда записать в виде P(x) = a0xn + a1xn-1 + . + an-1x + an, где a0, a1,..., an — коэффициенты. Сумму показателей степеней какого-либо члена М. Называют степенью этого члена. Если М. Не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени. Эту наибольшую степень называют степенью М.

Тождественный нуль не имеет степени. М. Нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры. Xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у — z + 1 есть многочлен первой степени (линейный М.), 5x2 — 2x2 — 3х2 не имеет степени, т. К. Это тождественный нуль. М., все члены которого одинаковой степени, называется однородным М., или формой (См. Форма). Формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x2 + y2 + z2 — ху — yz — xz есть тройничная квадратичная форма). Относительно коэффициентов М. Предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел.

Выполняя над М. Действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. С коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) — кольцо многочленов над данным полем. Это кольцо не имеет делителей нуля, т. Е. Произведение М., не равных 0, не может дать 0. Если для двух многочленов Р(х) и Q(x) можно найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р делится на Q. Q называется делителем, a R — частным. Если Р не делится на Q, то можно найти такие многочлены Р(х) и S(x), что Р = QR + S, причём степень S(x) меньше степени Q(x). Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q, т.

Е. Такой делитель Р и Q, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм). М., который можно представить в виде произведения М. Низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые М. Играют в кольце М. Роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема. Если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R, a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R. Каждый М. Степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x4 + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле действительных чисел и на четыре множителя .