Неравенства

IНера́венства (математические) соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Н. Употребляется знак 1 и 1 < 2 выражают одно и то же, а именно. 2 больше 1, или 1 меньше 2. Иногда несколько Н. Записываются вместе (например, а заменяется на ). Из неравенства А 3, которые и являются решением данного Н. Укажем несколько типов Н., выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных. 1) Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a1, a2,..., an справедливо Н. |a1 + a2 + … + anI ≤ Ia1| + Ia2I +. + Ian|. 2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние.

3) Линейные неравенства. Рассматривается система Н. Вида ai1x1 + ai2x2 +. + ainxn (bi ≥ i = 1, 2,..., m). Совокупность решений этой системы Н. Представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n-мepном пространстве (x1, x2,..., xn). Задача теории линейных Н. Состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Н. Тесно связаны с теорией наилучших приближений (См. Наилучшее приближение), созданной П. Л. Чебышевым. См. Также Бесселя неравенство, Буняковского неравенство, Гельдера неравенство (См. Гёльдера неравенство), Коши неравенство, Минковского неравенство. Н. Имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — Диофантовы приближения — полностью основан на Н.

Аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Н. В алгебре даётся аксиоматическое обоснование Н. Линейные Н. Играют большую роль в теории линейного программирования (См. Линейное программирование). В геометрии Н. Постоянно встречаются в теории выпуклых тел (См. Выпуклое тело) и в изопериметрических задачах (См. Изопериметрические задачи). В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н. (см., например, Чебышева неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные Н. (см., например, Чаплыгина метод). В теории функций постоянно употребляются различные Н. Для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н.

Треугольника ||х + у|| ≤ ||x|| + ||y||. Многие классические Н. В сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них. Лит. Коровкин П. П., Неравенства, 3 изд., М., 1966. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. С англ., М., 1948. IIНера́венства в астрономии, то же, что Возмущения небесных тел.