Операторов теория

часть функционального анализа (См. Функциональный анализ), посвященная изучению свойств Операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математических понятий. Примеры. 1) Отнеся каждому вектору (ξ1, ξ2, ξ3) вектор (ξ’1, ξ’’2, ξ’3) так, что ξ’i = ai1ξ1 + ai2ξ2 + ai3ξ3 (i = 1, 2, 3. Ai1, ai2, ai3 — фиксированные числа), получим некоторый оператор. 2) Операция (оператор) дифференцирования D [f (t)] = f’(t) относит каждой дифференцируемой функции f (t) её производную f’ (t). 3) Операция (оператор) определённого интегрирования I = относит каждой интегрируемой функции действительное число. 4) Отнеся каждой функции f (t) её произведение φ(t) f (t) на фиксированную функцию φ(t), снова получаем оператор.

Общая О. Т. Возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма - Лиувилля задача) и др. Разделов классического анализа. О. Т. Установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление). О. Т. Представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории). Операторы в линейных пространствах. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см.

Линейное пространство), в частности в функциональных пространствах, т. Е. Отображения у = А (х) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R' (возможно, совпадающее с R). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые Функции, линейные преобразования (См. Линейное преобразование) евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. Ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (αx+βy) = αА (х) + βА (у) для любых элементов х, у пространства R и любых чисел α, β. Если пространства R и R' нормированы, а отношение .