Счисление

нумерация, совокупность приёмов наименования и обозначения чисел. Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (цифра (См. Цифры)) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система С. Основывается на том, что некоторое число n единиц (основание системы С.) объединяется в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. Д. Основанием системы С. Может быть любое число, большее единицы. К числу таких систем относится современная десятичная система С. (с основанием n = 10). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0, 1,..., 9 (см.

Десятичная система счисления). Несмотря на кажущуюся естественность такой системы С., она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы С. Связано со счётом на пальцах. Имелись системы С. И с другим основанием. 5, 12 (счёт дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre-vingts, то есть буквально четыре-двадцать, означает 80), 40, 60 и др. При научных исследованиях и при вычислениях на современных вычислительных машинах часто применяется система С. С основанием 2 (см. Двоичная система счисления). У первобытных народов не существовало развитой системы С. Ещё в 19 в. У многих племён Австралии и Полинезии было только два числительных. Один и два.

Сочетания их образовывали числа. 3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один и 6 — два-два-два. О всех числах, больших 6, говорили. «много», не индивидуализируя их. С развитием общественно-хозяйственной жизни возникла потребность в создании систем С., которые позволили бы считать и обозначать всё большие совокупности предметов. Одной из наиболее древних систем С. Является египетская иероглифическая нумерация, возникшая ещё за 2500—3000 лет до н. Э. Это была десятичная непозиционная система С., в которой для записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом стоящими цифрами, складываются). Специальные знаки имелись для единицы —3), в славянской. , являясь единицей высшего разряда. Для записи чисел от 60 до 3600 вновь применялся принцип сложения, а число 36 000 обозначалось тем же знаком, что и единица, и т.

Д. Число 343 = 5 60 + 4.10+3 в этой системе записывалось так. [s]image013.gifimage013.gifimage013.gifimage013.gifimage013.gifimage014.gifimage014.gifimage014.gifimage014.gifimage013.gifimage013.gifimage013.gif[/s]. Однако в силу отсутствия знака для нуля, которым можно было бы отмечать недостающие разряды, запись чисел в этой системе С. Не была однозначной (см. Клинописные математические тексты). Другая система С., основанная на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова Юкатан (Центральная Америка) в середине 1-го тысячелетия н. Э. У майя существовали две системы С. Одна, напоминающая египетскую, употреблялась в повседневной жизни, Другая — позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля, применялась при календарных расчётах.

Запись в этой системе, как и в нашей современной, носила абсолютный характер. Современная десятичная позиционная система С. Возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. В Индии. До этого в Индии имелись системы С., в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого-нибудь разряда умножается на стоящее слева число). Аналогично строились старокитайская система С. И некоторые др. Если, например, условно обозначить число 3 символом III, а число 10 символом X, то число 30 запишется как IIIX (три десятка). Такие системы С. Могли служить подходом к созданию десятичной позиционной нумерации. Десятичная позиционная система С. Даёт принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа.

Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система С. Начинает распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 в. Появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система С., в 10 в. Десятичная позиционная нумерация доходит до Испании, в начале 12 в. Она появляется и в других странах Европы. Новая система С. Получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 в. Новая нумерация получила широкое распространение в науке и в житейском обиходе. В России она начинает распространяться в 17 в. Ив самом начале 18 в. Вытесняет алфавитную. С введением десятичных дробей (См.

Десятичная дробь) десятичная позиционная система С. Стала универсальным средством для записи всех действительных чисел. Лит. Кэджори ф. История элементарной математики с указаниями на методы преподавания, пер. С англ., 2 изд., Од., 1917. Леффлер Е., Цифры и цифровые системы культурных народов в древности и в новое время, пер. С нем., Од., 1913. Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967. Башмакова И. Г. И Юшкевич А. ГГ., Происхождение систем счисления, в кн. Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М.—Л., 1951. И. Г. Башмакова. Большая советская энциклопедия. — М. Советская энциклопедия 1969—1978.