Таблицы математические

одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств. Обычно Т. М. Представляют собой совокупность значений какой-либо функции y = f (x1,..., xn) для некоторых значений переменных. Запоминаемая в детстве таблица умножения у =x1 – x2 (где x1, x2 = 1, 2,..., 9), таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов — примеры математических таблиц. Т. М. Употребляются всюду, где приходится иметь дело с расчётами. В математике, физике, химии, астрономии, технике, экономике и т. Д. Для непрерывно меняющихся переменных x1,..., xn функции y = f (x1,..., xn) в таблицу включаются значения (ответы) y1,..., yn лишь при некоторых значениях (x1,..., xn)1,..., (x1,..., xn) n, для нахождения f (x1,..., xn) в случае, если (x1,..., xn) не включено в таблицу, необходимо проводить интерполяцию (См.

Интерполяция). Каждая Т. М. Характеризуется степенью точности (числом верных знаков или значащих цифр в табличных ответах), диапазоном изменения аргументов, шагом (разностью между соседними табличными значениями аргументов). При создании таблицы (табулировании) функции у = f (x1,..., xn) решаются два основных вопроса. А) конструкция таблицы, то есть выбор диапазона переменных x1,..., xn, выбор тех значений переменных, для которых приводятся ответы, размещение материала, вопрос о пользовании готовыми таблицами и т. Д. Б) вычисление значений f (x1,..., xn). Задача б) не является специально табличной. Специфика состоит в необходимости тщательной проверки большого цифрового материала (как при вычислении, так и при типографских корректурах).

При конструировании таблицы решается задача размещения на приемлемом объёме необходимого числа ответов у1,..., yn так, чтобы значение функции f (x1,..., xn) для значений (x1,..., xn) (возможно и не попавших в число табличных) можно было определить наиболее лёгким способом. Диапазон изменения переменных определяется как из практических потребностей, так и из того, сколь легко вне его можно вычислить функцию с принятой в таблице точностью. Шаг по переменным выбирается таким, чтобы интерполяция приемлемого порядка давала нужное число верных знаков. В таблицах массового применения допускается обычно только линейная интерполяция, в таблицах, имеющих более узкое назначение, — квадратичная (более высокий порядок нежелателен и встречается реже).

Необходимые при этом вспомогательные величины (разности функций и пр.) обычно включаются в таблицу. Важным приёмом, дающим возможность получить более гладкую функцию и тем самым упростить конструкцию таблицы (уменьшить число ответов, упростить интерполяцию и пр.), является замена аргументов и замена исходной функции на другую, связанную с ней простым соотношением. Т. М. Появились уже в раннем периоде развития математики. Так, в Вавилоне ещё за 2000 лет до н. Э. Были широко распространены таблицы произведений натуральных чисел, таблицы чисел вида 1/n, n2, n3, n2 + n3 и др. Эти таблицы применялись для различных вычислений и позволяли вавилонским математикам решать довольно сложные вычислит. Задачи. Первые таблицы трансцендентных функций появились в Древней Греции в связи с развитием астрономии и накоплением ею обширного материала наблюдений, требовавшего математической обработки.

В сочинении греческого астронома Птолемея (2 в.) «Альмагест» содержатся первые из дошедших до нас тригонометрические таблицы. В таблицах Птолемея даны значения длин хорд, соответствующих дугам от 0 до 180° через каждые 30' (длина хорды выражена в долях радиуса по шестидесятеричной системе). Для целей интерполяции в таблицах помещены разности. Т. М. (в частности, таблицы тригонометрических функций) составлялись индийскими математиками и математиками Ближнего Востока и Средней Азии (5—11 вв.). Так, Абу-ль-Вефа (10 в.) составил таблицы синусов, вычисленных через 10' с точностью 1:604, а также таблицы тангенсов. Начало больших работ по составлению таблиц в Европе относится к 15 в. Развитие естествознания в эпоху Возрождения побудило европейских математиков и астрономов к созданию в 15—17 вв.

Всё более полных и точных таблиц тригонометрических функций. Региомонтан (15 в.) в своих таблицах первым стал употреблять десятичную систему счисления. Его таблицы дают значения синусов через минуту, точность — 7 знаков. Составлением тригонометрических таблиц занимался Н. Коперник. Первая книга его труда «Revolutiones orbium caelestium» (1543) содержит пятизначные таблицы синусов. Ученик Коперника Ретик начал вычисление фундаментальных таблиц тригонометрических функций с 15 знаками через 10 ", а для первого и последнего градуса квадранта через каждую секунду. Расширенные и дополненные в 1613 немецким учёным Б. Питиском, эти таблицы послужили основой современных тригонометрических таблиц. Таблицы логарифмов чисел впервые были опубликованы в 1614 Дж.

Непером, в 1620 близкие таблицы издал швейцарский математик И. Бюрги. Первые таблицы десятичных логарифмов были опубликованы английским математиком Г. Бригсом в 1617 для чисел от 1 до 1000 с 8 знаками и в 1624 для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с 14 знаками. Вслед за таблицами логарифмов чисел появились таблицы логарифмов тригонометрических функций. Голландский математик А. Влакк в 1633 даёт десятизначные таблицы lgsinx и lgtgx с шагом в 10 " и с разностями. Бригс в 1633 даёт натуральные синусы с 15 знаками, тангенсы и секансы с 10 знаками, lgsinx с 14 знаками, lgtgx с 10 знаками и шагом 0,01° от 0 до 45°. С развитием науки, торговли и мореплавания быстро возрастает число выпускаемых таблиц. 18 в. Дал значительно больше Т.

М., чем 17 в. В 19 в. Не только увеличилось количество выпускаемых Т. М., но и значительно расширился охватываемый ими класс функций. В приложениях математики важную роль стали играть так называемые Специальные функции, появились таблицы эллиптических функций, гиперболических функций, гамма-функций, цилиндрических функций и др. В вычислении таблиц принимали участие крупнейшие математики. Л. Эйлер, А. Лежандр, К. Гаусс и др. В 20 в. Вычислено и издано в несколько раз больше Т. М., чем за весь предшествующий период, в основном различных специальных функций, некоторые из них вычислены с весьма большой точностью (15—30 знаков). Выпуск таблиц тесно связан с развитием вычислительной техники. Фоторазмножение Т. М., выдаваемых ЭВМ, практически исключает ошибки.

Большие работы по выпуску таблиц ведутся в СССР. Наряду с отдельными изданиями выпускаются серии таблиц Математическим институтом АН СССР, институтом точной механики и вычислит, техники АН СССР и Вычислительным центром АН СССР. С увеличением количества выпускаемых таблиц эффективное их использование и планирование дальнейшей работы в этой области требуют систематизации табличного материала и подробного описания имеющихся таблиц.