Барицентрическое исчисление

Ветвь аналитической геометрии, разработанная Мебиусом, особенно в его сочинении "Der Barrycentrische Calcul" (Лейпц., 1827), но не получившая после него более широкого приложения. Уже древние математики пытались вводить в геометрию понятие центра тяжести для решения задач, не поддававшихся решению иными способами. До изобретения исчисления бесконечно малых величин нахождение площадей некоторых геометрических фигур было сведено различными математиками на механический вопрос о центре тяжести. Таковы, напр., приемы, которые мы встречаем уже у александрийского математика Паппуса и позднее в сочинениях иезуита Гульдина, автора так наз. Центробарического, или Гульдинова, правила. Позднее Карно в своей "Геометрии положения" и Люилье применяли те же принципы к геометрическим вопросам.

Механическое понятие центра тяжести при этом заменяется чисто геометрическим понятием — центра средних расстояний. Эти отдельные попытки были обобщены и собраны в систематическое целое Мебиусом, который показал, что Б. Исчисление способно давать нередко простые решения сложных геометрических вопросов и открывать новые свойства геометрических фигур. Пользуясь тем обстоятельством, что всякая точка пространства может быть определена помощью трех коэффициентов, выражающих вес, который должно приписать некоторым трем основным точкам для того, чтобы данная точка была центром тяжести этих трех основных точек, Мебиус рассматривает эти три коэффициента как координаты точки и трактует многие сложные вопросы в такой новой системе координат.

Легко убедиться, что всякая точка может быть определена посредством системы 3-х барицентрических координат на плоскости и 4-х Б. Координат в пространстве. Основной треугольник на плоскости и основной тетраэдр в пространстве заменяют обычные координатные оси. Уравнение какой-нибудь кривой или поверхности выражается в Б. Координатах точно так же, как и в обыкновенных, причем и здесь уравнения первой степени выражают прямую линию или плоскость, уравнения второй степени — конические сечения или поверхности второго порядка и т. Д. Переход от Б. К обыкновенным прямолинейным координатам совершается довольно просто. Главное применение Б. Исчисление имеет, по мнению самого Мебиуса, к исследованию подобия геометрических фигур.

Теория подобия фигур, играющая столь важное значение в новой геометрии, еще была весьма мало разработана до Мебиуса, и в цитированном его сочинении, одном из первых, которое рассматривает общую теорию подобия геометрических фигур, положено основание многим новейшим исследованиям этого важного отдела геометрии. Более подробно рассмотрен тот вид подобия, который Мебиус называет "подобием коллинеации", при котором каждым трем точкам одной фигуры, лежащим на одной прямой, соответствуют три точки другой фигуры, также лежащие на одной прямой. Далее разобрано введенное впервые Мебиусом понятие "двойного отношения", которое во Франции было названо "ангармоническим отношением" и в настоящее время занимает видное место в теории проективных свойств фигур.

Наконец, Мебиус устанавливает посредством Б. Исчисления теории кривизны и касания поверхностей..