Взаимные поляры

Начертим на плоскости какую-либо кривую второго порядка и из какой-либо точки А проведем (см. Черт.) две касательные к этой прямой. Прямая аа1, проходящая через точки касания, называется полярой полюса А относительно взятой кривой. Другой полюс В (см. Черт.) будет иметь полярой прямую bb1. Найдем точку p пересечения этих поляр. В аналитической геометрии доказывается, что если возьмем новый полюс С на прямой, соединяющей два первые полюса А и В, то поляра cc1 этого полюса будет проходить через точку p пересечения поляр аa1, и bb1. Первоначально подобное же свойство было доказано Монжем для поверхностей второго порядка. Именно он показал, что если вершина конуса, описанного около поверхности второго порядка, движется по плоскости, то плоскость кривой соприкосновения проходит через одну и ту же точку.Если через какой-либо полюс А провести прямую и определить точки пересечения ее α и β с коническим сечением и точку Е пересечения с полярой полюса А, то окажется, что:AE = 2Aα∙Aβ/(Aα + Aβ)и отсюда:АΔ∙АЕ — АΔ∙Аа = Aα∙Aβ — Aα∙АЕ.

(1),но (см. Черт.). АЕ — Aа = аE,АЕ — Аβ = —βЕ;поэтому из равенства (1) следует, чтоАа∙βЕ/AΔ∙αE = —1,т. Е. Что секущая разделяется точками А, а, Е и β в гармоническом отношении (см. Ангармоническое отношение).Всякому полюсу, где бы он ни находился, соответствует своя поляра. Так, поляра полюса p есть прямая АВС (см. Черт.).По отношению ко взятому за основание поляр и полюсов коническому сечению всякой кривой линии S соответствует взаимно-полярная ей кривая s, которая определится как геометрическое место полюсов, взаимных касательным прямым кривой S. Обе кривые взаимно-полярны относительно основного конического сечения, так что полюсам, находящимся на кривой S, соответственными полярами служат касательные кривой s.Теория взаимных поляр служит в геометрии основанием принципа двойственности, состоящего в том, что каждой теореме, относящейся к каким бы то ни было кривым или прямым S', S ", S "',.

Отвечает ей взаимная теорема, относящаяся ко взаимным (по отношению к основному коническому сечению) кривым s', s", s "'. Например, теореме:"Поляры полюсов, находящихся на одной прямой, пересекаются в одной точке — в полюсе прямой", соответствует другая, ей взаимная. "полюсы поляр, проходящих через одну точку, находятся на одной прямой — поляре точки".Д. Бобылев..