Кватернион

Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:A) Квадраты их равны минус единице, т. Е. I2= -1, j2= -1, k2= -1.B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:ij = k, ji = -kjk = i, kj = -iki = j, ik = -j.Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α1 = х1i + y1j + z1k получается на основании свойств А и B следующее выражение:s + fi + gj + hk.

(С)в котором:s = -(хх1 + yy1 + zz1)f = yz1 — zy1g = zx1 — xz1h = xy1 - yx1Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями. Представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r1 казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.Известно, что хх1 + yy1 + zz1 = rr1cosΘ и чтоf = -lrr1sinΘg = -mrr1sinΘh = -nrr1sinΘпоэтомуαα1 = -rr1cosΘ — λrr1sinΘ, гдеλ = li+ mj + nk.Следовательно, произведение αα1 есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr1cosΘ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r1, отложенного от конца вектора r.

Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К. Первый, невекториальный член s кватерниона наз. Scalar, сумма остальных трех членов наз. Вектором. В учении о К. Рассматриваются различные действия над К. И делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. Излож. Paul Glan, Лпц., 1882). Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions". P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".Д. Б..