Объем*

— вместимость геометрического тела, т. Е. Части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в О. Кубических единиц. Вычисление величины О. Производится с помощью приемов, излагаемых в геометрии и интегральном исчислении. Приводим здесь формулы, выражающие величины объема некоторых геометрических тел:A. Выражения О. Правильных многогранников, в которых a означает длину ребра, R — радиус описанного шара, r — радиус шара вписанного.B. Величина О. Всякой прямой или наклонной к основанию призмы равняется произведению из площади основания на высоту. О. Прямоугольного параллелепипеда, длины сторон которого суть a, b, c, равняется abc. Величины О.

Прямых или наклонных призм высоты h, основания которых суть правильные многоугольники, стороны которых имеют длину a, выражаются формулами. Призма с основанием треугольным, призма с основанием квадратным а 2h, призма с основанием пятиугольным, призма с основанием шестиугольным.С. Величина О. Всякой прямой пирамиды высоты h равняется одной трети произведения из площади основания на высоту. Величины О. Правильных пирамид, основания которых суть правильные многоугольники, длины сторон которых равны a, выражаются следующими формулами. Треугольная пирамида, четырехугольная пирамида a2h /2, шестиугольная пирамида. Величина О. Пирамиды, отсеченной параллельно основанию, выражается следующей формулой, в которой G означает величину площади основания, a — длину одной из сторон его, b — длину соответствующей стороны верхнего сечения, h — высоту верхнего сечения над основанием.

HG/3(1+b/a+b2/a2).D. Величина О. Прямого или наклонного к основанию цилиндра равняется произведению из величины площади основания на высоту h цилиндра. Величины О. Цилиндров, основания которых суть. Круг радиуса R. Π R2h, эллипс, полуоси которого a и b. Π abh. Величина О. Стены цилиндрической трубки, прямой или наклонной к основанию, если основание стенки трубки есть плоское кольцо, заключающееся между кругами радиусов R и r, выражается. Π (R2 — r 2)h. Величина О. Кругового прямого цилиндра, отсеченного наклонно к основанию, если длина наибольшей производящей есть H, а наименьшей — h, выражается формулой π R2[(H+h)/2]. Если секущая плоскость проходит через центр круга, служащего основанием и наибольшая производящая имеет длину h, то О.

Отрезка цилиндра равен 2/3R2hЕ. Величина О. Всякого конуса высоты h выражается одной третью произведения площади основания на высоту. Величина О. Прямого кругового конуса. 1/3 π R2h Величина О. Прямого кругового конуса, срезанного параллельно основанию, если r есть радиус крута сечения, а h высота сечения над основанием, выражается формулой. 1/3 π h(R2+Rr+r2).F. Величина О. Шара радиуса R равна. 4/3 π R3 Величина О. Шарового сегмента высоты h при радиусе r выражается так. 1/3 π h2(3r-h). Величина О. Шарового пояса высоты h, если радиусы кругов сечений суть r1 и r2, выражается так. 1/6 π h(3r12+3r22+h). О. Шарового сектора, состоящего из сегмента высоты h и конуса высоты (R—h), равен. 2/3 π R2h трехосного эллипсоида, главные полуоси которого суть a, b, c, равен.

4/3 π abc О. Кольца с круговым сечением выражается так. 2π 2Rr2, если r есть радиус круга сечения и R — радиус круга, образуемого центрами сечений. О. Части параболоида вращения, отсеченной плоскостью, отстоящей на h от вершины, если r радиус круга сечения, выражается так. 1/2 π r2h О. Бочки, глубины h, если диаметр дна равен d, а средний диаметр D, выражается, при параболическом виде меридионального сечения так. 1/15 π h(2D2+Dd+3/4d2), а при круговом меридиональном сечении приблизительно. 1/12 π h(2D2+d2).G. О. Какого-либо тела вращения вычисляется по правилу Гюльдена таким образом. Величина О. Равняется 2π r0F, где F есть величина площади меридионального сечения тела, r0.