Упругость твердых тел

— свойство твердых тел восстановлять свою форму при прекращении действия сил, изменяющих форму или размеры тел, если силы эти не превосходят тех пределов, за которыми восстановление формы тела совершается не вполне, так что остаются некоторые деформации, не исчезающие после прекращения действия сил. Учение о равновесии и движении тел, называемое теорией У., составляет, вместе с гидродинамикою, механику сплошных деформируемых тел. О деформациях сплошных тел говорится в статье Деформация. Там уже было сказано, что в теории У. Рассматриваются деформации, при которых вокруг каждой точки тела, в ближайшем соседстве ее, относительные деформации однородны и ничтожно малы. Если x, у, z суть координаты какой-либо точки тела до деформации, а х + u, y + v, z + w — координаты той же точки при деформации, то величины u, v, w суть проекции на оси координат перемещения точки.

Величины эти будут функциями от x, у, z. Для того, чтобы вполне знать перемещения всех частей тела, надо знать, какие это функции. Проекции перемещения другой точки, отстоящей от первой на весьма малое расстояние и координаты которой до деформации суть x + Δ x, у + Δ y, z + Δ z, будут отличаться от u, v, w на величины:пренебрегая членами, заключающими квадраты и высшие степени величин Δ x, Δ y, Δ z Сравнив эти равенства с равенствами (F) статьи Деформация, мы видим, что в соседстве каждой точки происходит однородная относительная деформация, предположение же о ничтожной малости ее можно выразить требованием, чтобы Δ u, Δ v, Δ w были ничтожно малы сравнительно с величинами Δ x, Δ y, Δ z. Для этого необходимо, чтобы все девять производных, входящие во вторые части равенств (1), были бы ничтожно малыми величинами.

Тогда в выражениях, заключающих различные степени этих величин, мы имеем право пренебречь членами, заключающими высшие степени этих производных, и должны сохранить только члены с низшею степенью их. Элемент объема, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть Δ x, Δ y, Δ z, параллельные соответственным осям координат, при однородной деформации обращается в косоугольный параллелепипед, причем ребра получают следующие удлинения на единицу длины:ε 1 = (дu)/(дх). ε 2 = (дv)/(дy). ε 3 = (дw)/(дz);первое — удлинение ребер Δ x, второе — ребер Δ y, третье — ребер Δ z. Прямые углы между ребрами прямоугольного параллелепипеда при деформации скашиваются, т. Е. Перестают быть прямыми. Такое скашивание обуславливается образованием сдвигов при деформации (см.

Деформация, Сопрот. Материалов). Величина двойного сдвига в плоскости ΥΖ измеряется половиною косинуса угла между направлениями, которые получат ребра Δ y, Δ z после деформации. Величина эта выражается так g1 = 1/2[(дv)/(дz) + (дw)/(дy)]и называется величиною сдвига в плоскости YZ. Подобным образом величины сдвигов в плоскостях ZX и XY выражаются так. G2 = 1/2[(дw)/(дx) + (дu)/(дz)] g3 = 1/2[(дu)/(дy) + (дv)/(дx)]Кубическое расширение (на единицу объема) при деформации измеряется величиною q = ε 1 +.