Четырехмерное пространство

Во многих вопросах математики чистой и даже прикладной встречаются формулы и математические выражения, в которых заключаются четыре или более переменных величин, каждая из которых, независимо от прочих, может иметь всевозможные положительные или отрицательные величины, заключающиеся между (-∞) и (+∞). Отсюда проистекает идея о пространствах, имеющих четыре измерения, пять измерений и большее число измерений. Линия, прямая или кривая, имеет одно измерение. Поверхность, плоская или неплоская, имеет два измерения, объем или часть того, что мы называем реальным пространством, имеет три измерения, но пространства четырех или большего числа измерений мы в наглядном виде представить себе не можем. О реальном пространстве трех измерений мы имеем полное и ясное представление.

Относя его к трем взаимно перпендикулярным осям и плоскостям координат и называя координаты точек его через x, y, z, может сказать, что во всем пространстве x можем иметь всякие величины между (-∞) и (+∞), вместе с тем y может иметь всякие величины между (-∞) и (+∞) и вместе с тем z может иметь всякие величины между (-∞) и (+∞). Пространство это неограниченно. Часть его, ограниченная шестью плоскостями x=+a/2 и х=-a/2, y=+a/2 и y=-a/2, z=+a/2, z=-a/2, образует объем, а именно куб, стороны или ребра которого равны а. Точки пространства, заключающиеся внутри куба, имеют всякие координаты x, y, z, заключающиеся между пределами. +a/2 и -a/2. Куб ограничен шестью гранями. На грани, заключающейся в плоскости x=a/2, координаты y и z могут иметь всякие величины, заключающиеся внутри пределов +a/2 и -a/2.

Подобное этому можем сказать и о пяти остальных гранях. Каждая пара соседних граней имеет общие ребра. Куб может быть изображен на плоскости по правилам перспективы. Если картинная плоскость параллельна одной из граней куба, а точка зрения находится над серединой грани, то куб изобразится так. Наружная грань изобразится квадратом, задняя грань изобразится квадратом меньших размеров, стороны которого параллельны сторонам первого квадрата, боковые же грани изобразятся трапециями, непараллельные стороны которых соединяют вершины наружного квадрата с ближайшими к ним вершинами внутреннего квадрата. Подобным же образом можно получить перспективные изображения остальных пяти правильных многогранников. Тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, причем боковые грани уже не будут правильными треугольниками или пятиугольниками, только грани, параллельные картинной плоскости, останутся правильными.Обратимся теперь к пространству четырех измерений.

Каждая определенная точка его есть место, для которого величины x, y, z, v имеют определенные значения. Во всем неограниченном пространстве x может иметь всякие величины между +∞ и (-∞), вместе с тем y может иметь всякие величины между +∞ и (-∞), z может иметь всякие величины между +∞ и (-∞) и v — всякие величины между +∞ и (-∞). Представим себе, что мы отделим от всего пространства часть его, такую, чтобы внутри ее величины x заключались между пределами (+a/2) и (-a/2), величины y между теми же пределами, точно так же z и v между такими же пределами. Границами такой части пространства четырех измерений будут служить тогда 8 объемов трех измерений, а именно. 1) куб, координаты всех точек которого x, y, z заключаются в пределах(+a/2) и (-a/2), причем v=(+a/2).

2) куб, для которого v=(-a/2), а координаты x, y, z заключаются в пределах +a/2 и (-a/2). 3) куб, для которого z=(+a/2), а координаты точек которого x, y, v заключаются в пределах +a/2 и -a/2 и т. Д. Эти восемь кубов или восемь ячеек образуют границы части пространства четырех измерений, а ограничиваемая ими часть называется правильным восьмиячейником. По аналогии с правильным шестигранником, каждые две соседние ячейки имеют общую грань, например на кубе v=+a/2 грань z=+a/2 и на кубе z=+a/2 грань v=+a/2 есть общий им квадрат, координаты точек которого x и y заключаются в пределах (+a/2) и (-a/2). Подобно тому, как правильный многогранник может быть изображен в перспективе на плоскости, каждый многоячейник может быть представлен моделью в реальном пространстве следующим образом.

Сделаем из проволок остов куба v=+a/2 и остов другого куба меньших размеров, изображающей ячейку v=(-a/2). Поместим второй внутри первого так, чтобы соответственные ребра были параллельны. Затем соединим проволоками или нитями каждую вершину наружного куба с ближайшей к ней вершиною внутреннего куба, тогда образуется шесть трапецоэдров или усеченных пирамид с квадратными основаниями, представляющих остальные шесть ячеек.По аналогии с правильными многогранниками, число таких правильных многоячейников четырех измерений ограниченное, а именно. Пятиячейник, в котором ячейки суть тетраэдры. Восьмиячейник, шестнадцатиячейник, состоящий из тетраэдров, двадцатичетырехячейник, состоящий из октаэдров, стодвадцатиячейник из додекаэдров и шестисотячейник из тетраэдров.Различные аналогии между формулами, теоремами и свойствами геометрических тел трех намерений и формулами, теоремами и свойствами тел многих измерений изложены в отдельных статьях, помещенных в различных математических журналах, но мы еще не имеем достаточно полного сочинения по теории многомерных пространств.Д.

Б..