Шаровые функции

Представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).Введем обозначения. МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.Из треугольника MCO следует, чтоЭто выражение можно представить:(в случае I) или(в случае II).Полагая cosω = x, R/ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через, где α < 1.Во многих вопросах математической физики приходится 1/r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим:где P0 = 1, P1 = x, P2 = 3/2x2-1/2, P3 = 5/2x3-3/2x,. Pn =Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.При помощи строки Лагранжа доказывается, что Рn(x) есть n-ая производная целой функции:(x2-1)n/1∙2∙3∙...n∙2n.Уравнение Рn(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.Функция Рn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:(1-x2)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.Между тремя последовательными функциями Pn, Pn-1 и Pn-2 имеет место соотношение:nPn - (2n-1)xPn-1 + (n-1)Pn-2 = 0.Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие.

Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. Доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876). Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).Д. С..