Аналитическое Многообразие

многообразие с аналитич. Атласом. Структура n-мерного аналитич. Многообразия над полным недискретно нормированным полем kна топологич. Пространстве Мопределяется заданием на Маналитич. Атласа над k, т. Е. Набора карт со значениями в kn, покрывающего М, любые две карты из к-рого связаны между собой аналитически. При этом считается, что два атласа определяют одну и ту же структуру, если их объединение является аналитпч. Атласом. На А. М. Мопределен пучок Qростков k-значных аналитич. Функций. Возникающий таким образом класс окольцованных пространств ( М, 0).совпадает с классом гладких аналитич. Ространств над k. В случае, если - поле действительных чисел , говорят о вещественных аналитических многообразиях. Если - поле комплексных чисел ,- о комплексных аналитич е-с к и х (или просто комплексных) многообразиях.

Если - поле -адических чисел ,- о р-адических аналитических многообразиях. Примерами А. М. Являются. N-мерное евклидово пространство , n-мерное проективное пространство над , аффинные и проективные алгебраич. Многообразия над без особых точек, группы Ли и их однородные пространства. Понятие А. М. Восходит к Б. Риману и Ф. Клейну (В. Riemann, F. Klein), но впервые было точно сформулировано Г. Вейлем в книге [4] для случая римановых поверхностей, т. Е. Одномерных комплексных многообразий. В настоящее время (70-е гг.) А. М. Естественно рассматривать как частный случай аналитических пространств, к-рые можно грубо описать как "многообразия с особыми точками". Понятие аналитпч. Пространства возникло в 50-х гг. 20 в. И стало основным объектом теории аналитич.

Функций. Многие фундаментальные результаты, полученные для А. М., удалось перенести на негладкий случай. Изложение общих свойств А. М. Над произвольным полем можно найти в [3]. Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитич. Многообразий. Очевидно, на всяком вещественном А. М. Определена естественная структура многообразия класса . 15 1936 X. Уитни (Н. Whitney) доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном многообразии класса можно определить аналитич. Структуру над , индуцирующую исходную гладкую структуру. Из теоремы Г. Грауэрта (Н. Grayert) о вложимости паракомпактного аналитич. Многообразия над R в евклидово пространство следует, что эта аналитич.

Структура определена однозначно с точностью до изоморфизма (не обязательно тождественного) (см. [2]). На каждом комплексном многообразии Мопределена естественная структура вещественного А. М. (удвоенной размерности). Ответ на обратный вопрос, т. Е. На вопрос о существовании и единственности комплексной структуры на заданном вещественном А. М., получен только в простейших случаях. Так, если М - связное двумерное вещественное А. М., то необходимыми и достаточными условиями существования комплексной структуры на Мявляются паракомпактность и ориентируемость, а задача классификации этих структур есть классич. Задача о модулях риманоеых поверхностей. Имеется классификация компактных аналитических поверхностей (т. Е. Двумерных компактных комплексных многообразий), дающая частичный ответ на поставленный выше вопрос для 4-мерных вещественных многообразий.

С другой стороны, при помощи топологич. Методов можно указать классы вещественных многообразий, не допускающих почти комплексных и тем более комплексных структур. К таким многообразиям относятся сферы при , 3. Описание комплексных структур, достаточно близких к заданной, дает теория деформаций аналитических структур, важную роль в к-рой играют банаховы А. М.- бесконечномерные аналоги А. М. Лит.:[1] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. С франц., М., 1975. [2] Нарасиихан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. С англ., М., 1971. [3] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. С англ, и франц., М., 196". [4] Wеу1 Н., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl., Stuttg., 1955.

А. Л. Онищик.