Верхняя И Нижняя Грани

характеристики множеств на прямой. Верхняя грань нек-рого множества действительных чисел - наименьшее число, ограничивающее сверху это множеетво. Нижняя грань данного множества - наибольшее число, ограничивающее его снизу. Более подробно. Пусть задано нек-рое подмножество Xдействительных чисел. Число b наз. Его верхней гранью (в. Г.) и обозначается sup X(от латинского слова supremum - наивысшее), если для каждого числа выполняется неравенство , и каково бы ни было существует такое , что . Число наз. Нижней гранью (н. Г.) множества п обозначается (от латинского слова infimum - наинизшее), если для каждого выполняется неравенство , и каково бы ни было существует такое , что Примеры. если множество Xсостоит из двух точек то Эти примеры показывают, в частности, что в.

Г. (н. Г.) может как принадлежать этому множеству (напр., в случае отрезка ), так и не принадлежать ему (напр., в случае интервала ). Если в нек-ром множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно, очевидно, и является в. Г. (н. Г.) этого множества. В. Г. (н. Г.) не ограниченного сверху (снизу) множества наз. Символ (соответственно символ ). Если N - множество натуральных чисел. то Если множество всех целых чисел, положительных и отрицательных, то Всякое непустое множество действительных чисел имеет и притом единственную в. Г. (н. Г.) конечную или бесконечную. При этом всякое ограниченное сверху непустое множество имеет конечную в. Г., а всякое ограниченное снизу - конечную н. Г. Иногда в. Г. (н. Г.) множества наз.

Его точной верхней (нижней) гранью, понимая в этом случае под термином в. Г. (н. Г.) множества любое число, ограничивающее его сверху (снизу). Реже, вместо термина в. Г. (н. Г.) множества, в том или ином из вышеуказанных смыслов, употребляется термин верхняя (нижняя) граница множества. В. Г. (н. Г.) функции, принимающей действительные значения, в частности последовательности действительных чисел, называют в. Г. (н. Г.) множества ее значений. Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э.