Волны

на поверхности жидкости - отклонения поверхности жидкости от равновесного состояния, распространяющиеся под действием сил, стремящихся восстановить это состояние. В зависимости от природы восстанавливающих равновесие сил. Поверхностного натяжения или тяжести, В. На поверхности жидкости подразделяются соответственно на капиллярные и гравитационные В. Теория гравитационных В. Наиболее полно развита для потенциальных движении жидкости и особенно для плоскопараллельных движений. Объемные силы, приложенные к частицам жидкости, суть силы тяжести. Определение потенциала скорости волнового движения требует интегрирования уравнения Лапласа. при граничных условиях особого вида. Вдоль всей поверхности жидкости, уравнение к-рой может быть найдено после решения задачи, давление постоянно.

Это приводит на основании известного интеграла уравнений гидродинамики к первому граничному условию к-рое должно соблюдаться при . Второе граничное условие следует из того, что во все время движения поверхность жидкости состоит из одних и тех же частиц. Именно, при . (2) Кроме этих условий, должно быть удовлетворено требование обтекания поверхности твердых тел, находящихся в потоке. Одновременно с граничными условиями должны удовлетворяться начальные условия, к-рые состоят в том, что при t=0 частицы жидкости должны иметь предписываемые им начальные скорости, а поверхность жидкости - выбранную для нее начальную форму. Это равноценно заданию потенциала скоростей при t=0 как функции х, у, z и заданию функции при t=0.

Главная трудность задачи состоит в том, что все перечисленные условия необходимо должны выполняться на поверхности уравнение к-рой может быть найдено лишь после решения самой задачи. В этом отношении задачи теории В. Имеют много общего с задачами теории струй и фигур равновесия вращающейся жидкости. Почти полная невозможность решения задач теории В. С точным соблюдением указанных граничных условий привела к возникновению теории бесконечно малых В. В этой теории предполагается, что скорости частиц жидкости и отклонения поверхности жидкости от равновесного горизонтального уровня есть величины малые. В этом предположении граничные условия (1) и (2) принимают следующий вид. Вместе с тем допускается возможность заменить в частных производных потенциала скоростей переменное нулем.

При таком допущении граничное условие для функции получает вид. уравнение волновой поверхности - вид" Основные результаты, полученные в теории бесконечно малых В., дали возможность разобрать многие важные задачи геофизики и выяснить, напр., законы распространения приливных В. На поверхности Мирового-океана. Теория бесконечно малых В. Нашла приложение к решению задач об образовании В. Движущимися судами и дала возможность построить гидродинамич. Теорию качки судов на волнении. Широкое применение методов теории функций комплексного переменного позволило решить ряд весьма сложных задач о распространении В. В бассейнах переменной глубины и рассмотреть вопросы, связанные с дифракцией и отражением В. От плавающих тел.

Теория В. Конечной амплитуды развита в работах А. И. Некрасова (см. [3]), к-рые дали возможность найти вид периодических В. В предположениях плоской задачи с точным удовлетворением граничных условий (1) и (2). Определение соответствующего потенциала скоростей было сведено к отысканию функции, устанавливающей конформное отображение области, занятой одной В., на круг или на область, ограниченную двумя концентрич. Окружностями. Эта функция находится из решения нек-рого нелинейного интегрального уравнения. С развитием теории нелинейных граничных задач и интегральных уравнений теория В. Конечной амплитуды обогатилась новыми результатами. В частности, было дано доказательство существования одиночной В. И предельной волны Стокса с угловой точкой на ее профиле.

В теории стоячих В. Конечной амплитуды, то есть периодических собственных колебаний поверхности жидкости, существуют лишь приближенные решения, основанные на применении переменных Лагранжа. Определение стоячих и установившихся В. На поверхности трехмерного потока представляет трудную задачу даже при отыскании ее приближенного решения. Лит. [1] Ламб Г., Гидродинамика, пер. С англ., М.-Л., 1947. [2] Милн -Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. С англ., М., 1964. [3] Некрасов А. И., Собр. Соч., т. 1, М., 1961, с. 358-439. [4] Стокер Дж. Дж., Волны на воде, пер. С англ., М., 1959. [5] Теория поверхности ных волн, сб. Переводов, М., 1959. Л. Н. Сретенский.