Вырожденное Уравнение

с частными производными - дифференциальное уравнение с частными производными, тип к-рого вырождается в нек-рых точках области задания уравнения или на ее границе. Тип уравнения или системы уравнений в точке определяется одним или несколькими алгебраич. Соотношениями между коэффициентами. Среди этих соотношений имеются, как правило, строгие неравенства. Если в нек-рых точках рассматриваемой области вместо строгих неравенств выполняются нестрогие, то говорят о вырождении типа, а уравнение (система уравнений) наз. Вырождающимся, или вырожденным. Различают вырожденные эллиптические уравнения, вырожденные гиперболические уравнения, вырожденные параболические уравнения (системы уравнений) . Примеры. - вырожденное эллиптич.

Уравнение в полупространстве - вырожденное гиперболич. Уравнение во всей плоскости. - вырожденное параболич. Уравнение в области - вырожденная эллиптич. Система при В. У. Встречаются в теории пограничного слоя, в безмоментной теории оболочек, в теории диффузионных процессов, в частности в теории броуновского движения, и во многих других задачах механики и физики. Исследования В. У. Ведутся по двум тесно связанным между собой направлениям. 1) доказывается разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа. 2) устанавливаются свойства решений, аналогичные свойствам невырожденных уравнений (гладкость, неравенства Гарнака для эллиптич. И параболич.

Уравнений и т. П.). Наиболее полно изучены В. У. 2-го порядка эллиптич. И параболич. Типов (строго говоря, параболич. Уравнение тоже можно считать вырожденным эллиптич. Уравнением, удовлетворяющим дополнительным условиям). В случае, когда вырождение типа имеется не только на границе, но и во внутренних точках (напр., во всех точках рассматриваемой области), такие уравнения называют еще уравнениями с неотрицательной характеристической формой, эллиптикопараболическими уравнениями, ультрапараболическими уравнениями. Особенностью В. У. Является специфич. Постановка краевых задач. Граничные условия иногда приходится задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Келдыш впервые обратил внимание на зависимость постановки краевой задачи от характера вырождения эллиптич.

Уравнения на границе. Для общего эллипти-копараболич. Уравнения 2-го порядка первая краевая задача ставится следующим образом. Пусть Г - граница рассматриваемой области - внутренняя нормаль к - та часть Г, где Требуется найти решение уравнения (*) в области Dтак, чтобы Были доказаны существование и единственность обобщенного решения этой задачи и указаны достаточные условия, при к-рых обобщенное решение будет гладким. Так как частным случаем В. У. Являются уравнения 1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эллиптич. Уравнений, вообще говоря, не будут гладкими внутри области, если граничные условия недостаточно гладкие. Однако примеры показывают, что и при бесконечно дифференцируемых граничных условиях и коэффициентах В.

У. Его решения могут не быть бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипо-эллиптичности для общего вырожденного эллиптич. Уравнения 2-го порядка. Свойства решений вырожденных эллиптич. П параболич. Уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью геометрич. Методов, так и с помощью методов теории вероятностей. Большинство исследований вырожденных гиперболич. Уравнений относится к уравнениям 2-го порядка с двумя независимыми переменными, вырождающимся на границе области. Эти работы стимулировались прежде всего изучением уравнений смешанного типа и связанных с ними задач газовой динамики. Для иллюстрации возникающих здесь вопросов рассмотрим задачу Коши для уравнения с главной частью . При эта задача имеет единственное решение, а при задача Коши, вообще говоря, некорректна.

Для уравнения с главной частью задача Коши с данными на линии вырождения поставлена корректно при . Если , то так же, как и для эллиптич. Уравнения, постановка задачи, вообще говоря, видоизменяется. Вместо задается нек-рая положительная функция, зависящая от коэффициентов уравнения. Для гиперболич. Уравнения с большим числом пространственных переменных вырождающегося как на начальной плоскости t=0, так и внутри области, доказана корректность задачи Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее существенным из этих условий является выполнение неравенства где и - нек-рые положительные постоянные. Ряд результатов для линейных В. У. Переносится и на квазилинейные уравнения. Лит.:[1] Олейник О. А., Радкевич Е.

В., Итоги науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7-252. [2] Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., 1966. А. М. Ильин.