Дирихле Вариационная Задача

- задача отыскания минимума Дирихле интеграла при заданных граничных условиях u| дG=j, где функция j задана на границе дG га-мерной области G. Решение этой задачи является и решением первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Д. В. З.- первая задача на минимизацию функционала, к к-рой было сведено решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными. Д. В. З. Естественно рассматривать в классе функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые с квадратом. В случае ограниченной области это множество функций совпадает с Соболева пространством и потому обладает свойством полноты в соответствующей метрике. Кроме того, каждая функция этого пространства имеет на дG граничные значения в смысле сходимости почти всюду, к-рые в случае достаточной гладкости границы совпадают с граничными значениями в смысле сходимости в среднем или в смысле предела граничных значений непрерывных в замкнутой области функций, аппроксимирующих в метрике пространства заданную функцию.

Если G- ограниченная область и если существует хоть одна функция и, для к-рой (такие функции наз. Допустимыми), то решение u0 Д. В. З. Существует и единственно. Это решение и 0 является гармонической в G функцией (см. Дирихле принцип). Если граница дG области G гладкая, то для того чтобы класс допустимых функций был не пуст, необходимо и достаточно, чтобы Решение и 0 Д. В. З. Может быть найдено прямым вариационным методом. Эти результаты обобщаются как на случай квадратичных эллиптич. Функционалов, содержащих производные высших порядков, так и на случай неограниченных областей. Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. С нем., т. 2, 2 изд., М.- Л., 1951. [2] Соболеве. Л., Некоторые применения функционального анализа к математической физике, Новосиб., 1962.

[3] Никольский С. М., "Матем. Сб.", 1954, т. 35, № 2, с. 247-66. [4] Кудрявцев Л. Д., "Тр. Матем. Ин-та АН СССР", 1959, т. 55, с. 1 -181. Л. Д. Кудрявцев..