Дискретное Программирование

- область математики, занимающаяся исследованием и решением экстремальных задач на конечных множествах. Пусть М={а 1, а 2, ..., а п}и f - числовая функция, определенная на элементах множества М. Требуется найти элемент на к-ром достигается абсолютный минимум (или абсолютный максимум) f на М. Сокращенно такие задачи записываются. Из указанного класса задач Д. П. Исследует только нетривиальные задачи, выделяемые следующими дополнительными условиями. 1. Число п=|М| должно быть достаточно большим настолько, чтобы задача не решалась непосредственным просмотром значений f( а i) вручную или на ЭВМ. Так, в задаче коммивояжера, к-рая является типичной задачей Д. П., число вариантов Qпри обходе тпунктов равно В задачах минимизации булевых функций (см.

Булевых функций минимизация, Булевых функций метрическая теория) |М|>22n. 2. Задача не должна быть регулярной. Задача наз. Регулярной, если. А) для каждого определена непустая окрестность S( а i, М), и б) локальный экстремум f, т. Е. Точка а;такая, что f(ai) = extr f(x),. Определяется при помощи простого алгоритма, в) локальный экстремум совпадает хотя бы с одним глобальным. Таким образом, Д. П. Рассматривает задачи, имеющие, вообще говоря, несколько локальных экстремумов. В типичных случаях число локальных экстремумов весьма велико. Напр., в задачах целочисленного линейного программирования с булевыми переменными, в к-рых функционал и ограничения зависят от переменных х 1, . , xk число элементов в Мне больше 2k, а число локальных экстремумов может быть равным const.

(см. [2]). Трудность решения задач Д. П. И определяется наличием большого числа локальных экстремумов. Универсальных эффективных методов решения задач Д. П. Не создано (1978). Как показывают исследования по минимизации булевых функций - хорошо исследованной модельной задаче Д. П. (см. Также Алгоритм локальный), создание таких методов, по-видимому, невозможно. Методы, в достаточной степени универсальные, такие, как метод ветвей и границ (см. [1]) и его различные модификации, являются методами направленного перебора. Они эффективно применяются для решения специализированных задач Д. П. Однако для каждого из таких методов существуют обширные классы задач, для к-рых методы направленного перебора мало отличаются по сложности от методов полного перебора.

Другой источник математич, трудностей в задачах Д. П. Состоит в том, что множество М, на к-ром ищется экстремум f, часто задается в неявной форме. Так, в задачах целочисленного линейного программирования множество Мопределяется как совокупность целочисленных решений системы линейных неравенств. При таком и более сложных способах задания Мнетривиальной становится не только задача полного перечисления М, но и указания хотя бы одного элемента из М. В силу изложенного, основные результаты Д. П. Получены при решении и исследовании более узких классов задач. К таким классам относятся транспортная задача, задача о коммивояжере и нескольких коммивояжерах, линейное целочисленное программирование, задача о расписаниях (см.

Расписаний теория), экстремальные задачи на графах (см. Графов теория), задачи минимального представления булевых функций и функций k-значной логики и т. Д. Другое направление в теории дискретных экстремальных задач состоит в развитии приближенных методов, обычно применяемых при решении практич. Задач большой размерности. Принципиально эти методы не отличаются от соответствующих методов поиска экстремумов непрерывных функций и функционалов. В Д. П. Используются аналоги алгоритмов локальной оптимизации, алгоритмов спуска, случайного поиска и т. П. (см. Обзор приближенных методов решения задач Д. П. В [3]). Интересным как с теоретич. Точки зрения, так н в решении прикладных задач является статистический подход к задачам Д.

П. Пусть совокупность задач {Z} можно представить в виде где |{Z}i|>|{Z}j| при i>j и при Говорят, что подмножество составляет почти все задачи Z, если Для различных классов задач Д. П. Имеет место следующий факт. Существует (а часто и эффективно описывается) совокупность {Z' } почти всех задач {Z}, для к-рых нахождение экстремума или хорошего приближения к экстремуму возможно в классе простых алгоритмов. Это было замечено впервые при решении задач синтеза оптимальных управляющих систем, напр, в минимизации булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм, см. Булевых функций нормальные формы, а также [4]. Напр., задача выделения экстремальных конъюнкций, входящих хотя бы в одну минимальную дизъюнктивную нормальную форму булевой функции f(x1, .

, х n), неразрешима в классе локальных алгоритмов при где k- индекс локального алгоритма, l- величина памяти. В то же время задача выделения элементарных конъюнкций, входящих хотя бы в одну "почти минимальную" дизъюнктивную нормальную форму для почти всех булевых функций, разрешима в классе локальных алгоритмов при k =2, l=1 (см. [5]). Столь же значительное сокращение трудоемкости при переходе к почти всем задачам получается для экстремальных задач на графах, в за-, даче о построении оптимальных покрытий и т. Д. Лит.:[1] Корбут А. А., Финкельштейн Ю. Ю., Дискретное программирование, М., 1969. [2] Коробков В. К., "Проблемы кибернетики", 1965, в. 14, с. 297 - 99. [3] Финкельштейн Ю. Ю., Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования, М., 1976.

[4] Дискретная математика и математические вопросы кибернетики, т. 1, М., 1974. [5] Журавлев Ю. И., "Дискретный анализ", 1964, № 3, с. 41-77. Ю. И. Журавлев..