Однородная Ограниченная Область

- однородное комплексное многообразие, изоморфное ограниченной области в . Примером О. О. О. Является "комплексный шар" в к-ром транзитивно действует псевдоунитарная группа SUn ,1 , представленная проективными преобразованиями пространства . Если D- любая ограниченная область в , то эрмитова дифференциальная форма где К- Бергмана кернфункция области D, определяет в Dкэлерову метрику, наз. Метрикой Бергмана и инвариантную относительно всех автоморфизмов области D(см. [1], [2]). Группа G(D)всех автоморфизмов области Dявляется вещественной группой Ли, не содержащей нетривиальных связных комплексных подгрупп. Если D- однородна, то метрика Бергмана полна. Среди О. О. О. Выделяются симметрич. Области. Ограниченная область Dназ.

Симметрической, если для любой точки существует инволютивный автоморфизм области D, имеющий г изолированной неподвижной точкой. Всякая симметрич. Область однородна и является эрмитовым симметрич. Пространством относительно метрики Бергмана. Получена [3] классификация симметрич. Областей. Имеются 4 серии неприводимых симметрич. Областей, связанных с классич. Простыми группами Ли, и две особые области размерностей 16 и 27. К числу классических симметрич. Областей относятся, в частности, комплексный шар и верхняя полуплоскость Зигеля (см. Зигеля область). Всякая симметрич. Область изоморфна прямому произведению неприводимых симметрич. Областей [1]. Всякая О. О. О. Размерности является симметрической [3]. Начиная с размерности 4, существуют и несимметрические О.

О. О. (см. [4]). Более того, при имеется континуум n-мерных О. О. О., среди к-рых лишь конечное число симметрических. Каждая О. О. О. Гомеоморфна клетке и аналитически изоморфна аффинно однородной области Зигеля, определенной однозначно с точностью до аффинного изоморфизма. Классификация О. О. О. Производится алгебраич. Средствами [5]. С О. О. О. Связаны многомерные обобщения эйлеровых интегралов (интегралы Зигеля 1-го и 2-го рода), а также гипергеометрич. Функции [6]. Лит.:[1] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. С англ., М., 19В4. [2] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963. [3] Саrtan E., "Abh. Math. Sem. Hamb. Univ.", 1936, Bd 11, S. 116-62. [4] Пятецкий-Шапиро И.

И., Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, М., 1961. [5] Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., "Тр. Моск. Матем. Об-ва", 1963, т. 12, с. 359-88. [6] Гиндикин С. Г., "Успехи матем. Наук", 1964, т. 19, в. 4, с. 3-92. Д. Б. Винберг..