Относительная Гомологическая Алгебра

- гомологическая алгебра, ассоциированная с парой абелевых категорий и фиксированным функтором . Функтор предполагается аддитивным, точным и полным. Короткая точная после довательность объектов категории наз. Допустимой, если точная последовательность расщепляется в категории . Посредством класса допустимых точных последовательностей определяется класс -проективных (соответственно -инъективных) объектов как класс таких объектов Р(соответственно Q), для к-рых функтор (соответственно ) точен на допустимых коротких точных последовательностях. Любом проективный объект Ркатегории является -проективным, это не означает, однако, что и категории достаточно много относительно проективных объектов (т.

Е. Что для любого объекта Аиз существует допустимый эпиморфизм нск-рого - проективного объекта категории ). Если в категории достаточно много -проективных или - инъективных объектов, то обычные конструкции гомологлч. Алгебры позволяют строить в этой категории производные функторы, наз. Относительными производными функторами. П р и м е р ы. Пусть - категория Д-модулей над ассоциативным кольцом R с единицей, - категория множеств, - функтор, "забывающий" структуру модуля. В этом случае все точные последовательности допустимы, и в результате получается "абсолютная" (т. Е. Обычная) гомологич. Алгебра. Если G - группа, то каждый G-модуль является, в частности, абелевой группой. Если Нявляется алгеброй над коммутативным кольцом k, то каждый R-модуль, является k-модулем.

Если Rи S - кольца и , то каждый R-модуль является S-модулем. Во всех этих случаях имеется функтор из одной абелевой категории в другую, определяющий относительные производные функторы. Лит.:[1] Маклейн С., Гомология, пер. С англ., М., 1966. [2J EilenbergS., Moore J. С., Foundations of relative homological algebra, Providence, 1Я65. В. Е. Говоров, А. В. Михалев.