Паскалева Геометрия

- геометрия плоскости, построенной над полем (коммутативным телом). Название этой геометрии связано с тем, что в этой геометрии на плоскости выполняется конфигурационное предложение Пап на - Паскаля. Если точки 1, 3, 5 и 2, 4, 6 соответственно лежат на прямых (коллинеарны), то точки пересечения пар прямых (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1) - точки 9, 7, 8 - также лежат на одной прямой при любом выборе системы образующих точек 1, 3, 5 на одной прямой и 2, 4, 6 - на другой прямой, отличной от первой (см. Рис.). Важнейший частный случай этого предложения (в аффинной плоскости) утверждает. Из того, что прямая (4, 3) параллельна (6, 5) и прямая (6, 1)параллельна (2, 3), следует параллельность прямых (2, 5) и (4, 1).

П. Г. Плоскости может быть построена над бесконечными или конечными полями, соответственно этому плоскость наз. Бесконечной или конечной паскалевой плоскостью. Впервые важную роль предложения Паскаля в построении геометрич. Систем над бесконечными полями исследовал Д. Гильберт (D. Hilbert, см. [1]), к-рый устанавливал доказуемость предложения Паскаля при различных наборах аксиом из системы аксиом евклидова пространства. Д . Гильберт показал, что Паскаля теорему в бесконечной плоскости можно доказать с помощью плоскостных аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности, причем было установлено, что без аксиом непрерывности в этом случае теорему Паскаля доказать нельзя. Опираясь же на пространственные аксиомы системы Гильберта, теорему Паскаля можно доказать без аксиом конгруэнтности, но обязательно с применением аксиом непрерывности (исключение аксиом непрерывности в бесконечной плоскости приводит к непаскалевой геометрии).

Возможность доказательства теоремы Паскаля аналогична в указанном смысле возможности доказательства Дезарга предложения с использованием пространственных аксиом, однако в доказательстве теоремы Паскаля проявляется особая роль аксиом непрерывности Архимеда в бесконечных плоскостях (см. Неархимедова, геометрия). Предложение Паппа - Паскаля проективно выполняется в нек-рой плоскости тогда и только тогда, когда умножение во всех натуральных телах этой плоскости обладает коммутативным свойством, или иначе. Натуральное тело всякой паскалевой плоскости является полем и, наоборот, плоскость, построенная над полем, обладает П. Г. Поэтому П. Г. Иногда наз. Геометрией с коммутативным умножением. Таким образом, в паскалевой плоскости конфигурационное предложение Паппа - Паскаля имеет алгебраич.

Инвариант, выражающий коммутативное свойство умножения в множестве, над к-рым построена эта плоскость. В любой проективной плоскости теорема Паппа - Паскаля влечет за собой предложение Дезарга. Конечная паскалева плоскость как конечная проективная плоскость существует только в случае, если число точек, лежащих на каждой прямой этой плоскости, есть , где р - простое, s - натуральное число. Так как всякое конечное альтернативное тело является полем, то в конечной плоскости предложение Дезарга влечет за собой теорему Паппа - Паскаля, причем последняя является следствием т. Н. Малой теоремы Дезарга. Вместе с тем существуют конечные проективные плоскости, являющиеся непаскалевыми. Паскалева плоскость изоморфна двойственной себе плоскости.

Значение П. Г. Определяется ее ролью при исследовании независимости системы аксиом, в частности системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии. При построении бесконечной плоскости на основе групп аксиом инцидентности, порядка и параллельности предложение Паппа - Паскаля должно рассматриваться как дополнительная аксиома. С другой стороны, с помощью комбинаций конечного числа конфигураций Паппа - Паскаля оказывается возможным решить задачи на построение, в к-рых используется лишь понятие инцидентности и, может быть, параллельности. Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. С нем., М.- Л., 1948. [2] Вiebеrbасh L., Einleitung in die hohere Geometric, Lpz., 1933. [3] Скорняков Л. А., "Успехи матем. Наук", 1951, т.

6, в. 6, с. 112-54. [4] Dembowski P., Finite geometries, В.- [и. А.], 1968. [5] Reidemeister К., Grundlagen der Geometrie, В., 1930. [6] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1909. Л. А. Сидоров.