Периодическое Решение

обыкновенного дифференциального уравнения или системы - решение, периодически зависящее от независимого переменного t. Для П. P. X(t).(в случае системы х - вектор) имеется такое число , что х(t+T)=x(t).при всех . Всевозможные такие Тназ. Периодами данного П. Р. При этом из непрерывности x(t)следует, что либо x(t). Не зависит от t, либо всевозможные периоды являются целочисленными кратными одного из них - минимального периода Т 0>0. Говоря о П. Р., часто подразумевают, что имеет место второй случай, а о Т 0 говорят просто как о периоде. П. Р. Рассматривают обычно для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части к-рых либо не зависят от t(автономная система). (1) где U - область в Rn, либо зависят от tпериодически.

(2) (У систем с иным характером зависимости правых частей от tчаще всего нет П. Р.) В случае системы (2) период Т 0 П. Р. Обычно совпадает с периодом Т 1 правой части или является целочисленным кратным T1;другие Т 0 возможны лишь в исключительных случаях. П. Р. С периодом T0=kT1, k>l, описывают субгармонич. Колебания (см. Вынужденные колебания).и потому сами иногда наз. Субгармоническими П. Р. (или субгармониками). Система (2) определяет наследования отображение F (зависящее от выбора начального момента t0). Если - решение системы (2) с начальным значением , то Свойства системы (2) тесно связаны со свойствами F;в частности, значение при t=t0 П. Р. С периодом kT1 является при k=1 неподвижной точкой отображения F, а при k>1 - его периодич.

Точкой периода k, т. Е. Неподвижной точкой для итерации Fk. Изучение П. Р. В значительной степени сводится к исследованию соответствующей неподвижной (или периодической) точки отображения исследования. Для автономной системы (1) используется следующая модификация этой конструкции. В фазовом пространстве в какой-либо точке траектории рассматриваемого П. Р. (она является замкнутой кривой) берут какое-нибудь локальное сечение, т. Е. Гладкую площадку П коразмерности 1, трансверсальную к этой траектории, и рассматривают отображение, переводящее точку в первую по времени точку пересечения с П исходящей из x траектории системы (1). Поведение решений, близких к данному П. Р., описывается в линейном приближении соответствующей системой уравнений в вариациях.

Коэффициенты этой линейной системы в данном случае периодически зависят от t, и поэтому можно говорить о соответствующих монодромии операторе и мультипликаторах. О последних говорят как о мультипликаторах данного П. Р. Линейное приближение определяет свойства П. Р. (устойчивость, инвариантные многообразия) примерно в той же степени, как и для равновесия положений. П. Р. Автономной системы (1) имеют нек-рые специфич. Особенности. Один из мультипликаторов всегда равен единице (если П. Р. Не сводится к константе), что приходится, в частности, учитывать при исследовании устойчивости этих П. Р. (см. Андронова - Витта теорема);период может измениться при малом возмущении, что приходится учитывать в возмущений теории. Отыскание П.

Р. И исследование их свойств представляет интерес не только с чисто математич. Точки зрения, но и потому, что при математич. Описании реальных физич. Систем их периодич. Режимы обычно соответствуют П. Р. ( см. Автоколебания, Вынужденные колебания, Колебаний теория, Нелинейные колебания, Релаксационное колебание). Однако эта задача очень трудна - так, не имеется никаких общих методов, к-рые позволили бы устанавливать, существуют ли П. Р. У конкретной системы. В различных случаях используются различные соображения и методы. Многие из них относятся к возмущений теории( гармонического баланса метод, Крылова - Боголюбова метод усреднения, Малого параметра метод), к к-рой примыкает также исследование бифуркаций;другие - К качественной теории дифференциальных уравнений.

Последняя, в частности, устанавливает особую роль П. Р. Для системы (1) при п=2:в этом случае П. Р. Вместе с нек-рыми другими типами решений полностью определяют поведение всех решений вообще (см. Также Предельный цикл). В связи с этим имеется ряд специальных результатов о П. Р. Таких систем (напр., о П. Р. Ван дер Поля уравнения и его обобщений или модификаций - Лъенара уравнения, Рэлея уравнения). Д. В. Аносов.