Порядковая Статистика

-член вариационного ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть наблюдается случайный вектор Х=( Х 1, Х 2, ..., Х п), принимающий значения х=( х 1, х 2, . ., х п).в n-мерном евклидовом пространстве , и пусть в задана функция , определенная по следующему правилу. где - вектор из , полученный из вектора хв результате перестановки его координат х 1, х 2, ..., х n в возрастающем порядке, т. Е. Компоненты x(nl), x(n2) ,..., х ( пп) вектора удовлетворяют следующему соотношению (1) В этом случае статистика наз. Вариационным рядом (или вектором) порядковых статистик, а ее k-я компонента Xnk(k=1, 2, ..., n) наз. K-й порядковой статистикой. В теории П. С. Наиболее полно изучен случай, когда компоненты X1, Х 2, ..., Х п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределенные случайные величины, что в дальнейшем и будет предполагаться.

Если F(и) - функция распределения случайной величины Xi, i=l, 2, . ., п, то функция распределения Fnk(u) k -й П. с. Х (nk) вычисляется по формуле (2) где - неполная бета-функция. Из (2) следует, что если функция распределения F(и).имеет плотность вероятности f(u), то плотность вероятности fnk (и) k- йП. С. Х (nk), k=1,2, . ., п, тоже существует и выражается формулой (3) В предположении существования плотности f (и).была получена совместная плотность вероятности П. С. Х (nr1), Х (nr2),..., Х (nrk), , к-рая выражается формулой (4) Формулы (2) - (4) позволяют, напр., найти распределение вероятностей т. Н. Экстремальных П. С. а также распределение статистики Wn= Х (nn)-X(n1), к-рую наз.

Размахом. Напр., если функция распределения F(и).непрерывна, то функция распределения размаха Wn выражается формулой (5) Формулы (2) - (5) показывают, что, как и в общей теории выборочных методов, точные распределения П. С. Невозможно использовать при получении статистич. Выводов, если функция распределения F(и).неизвестна. Именно поэтому в теории П. С. Получили широкое развитие асимптотич. Методы исследования распределений П. С. При неограниченном увеличении размерности ге вектора наблюдений. В асимптотич. Теории П. С. Изучаются предельные распределения соответствующим образом нормированных последовательностей П. С. { Х (nk)}, когда . При этом, вообще говоря, порядковый номер kможет меняться в зависимости от ге. Если с ростом ппорядковый номер kменяется таким образом, что существует , отличный от О и 1, то соответствующие П.

С. Х (nk) рассматриваемой последовательности { Х (nk)}. Наз. Центральными или средними П. С. Если же равен 0 или 1, то П. С. Х (nk) наз. Крайними. В математич. Статистике центральные П. С. Используют при построении состоятельных последовательностей оценок для квантилей неизвестной функции распределения F(и).по реализации случайного вектора Xили, иначе говоря, при оценивании функции F-1(u). Напр., пусть х р- квантиль уровня Р(0<Р<1) функции распределения F(u), про к-рую известно, что ее плотность вероятности f(u).непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности точки х р. В этом случае последовательность центральных П. С. { Х (nk)} с порядковыми номерами k=[(n+1) Р+0,5], где [а] - целая часть действительного числа а, является состоятельной последовательностью оценок для квантили х р,.

Более того, эта последовательность П. С. { Х (nk)}асимптотически нормально распределена с параметрами т. Е. Для любого действительного числа х (6) где Ф (х) - функция распределения стандартного нормального закона. // .