Предельные Теоремы

теории вероятностей - общее название ряда теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Первые П. Т., установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) и П. Лапласом (P. Laplace, 1812), относятся к распределению отклонений частоты m п/п появления нек-рого события Епри nнезависимых испытаниях от его вероятности р,0<р<1 (точные формулировки см. В статьях Бернулли теорема, Лапласа теорема). С. Пуассон (S. Poisson, 1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность pk наступления события Ев k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при распределения отклонений частоты mn/n от среднего арифметического вероятностей (см.

Пуассона теорема). Если обозначить через Х k случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Ев k-м испытании, и значение, равное нулю при появлении противоположного события, mn можно представить в виде суммы что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи двух более общих утверждений, относящихся к суммам независимых случайных величин - больших чисел закона и центральной предельной теоремы (к-рые приводятся нише в их классич. Формулировке). Закон больших чисел. Пусть (1) - последовательность независимых случайных величин, sn - сумма первых пиз них. (2) А п и - соответственно математич. Ожидание и дисперсия суммы sn.

Говорят, что последовательность (1) подчиняется закону больших чисел, если при любом e>0 вероятность неравенства стремится к нулю при Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (1867) и затем обобщены А. А. Марковым (1906). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда случайные величины Х п имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному. Величины Х n должны иметь конечные математич. Ожидания. Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (1) применима центральная предельная теорема, если при любых z1 и z2 вероятность неравенства z1 В n <.

Sn - An <. Z2Bn имеет пределом при величину Ф(z2) -Ф(z1), где (см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной П. Т. Были указаны П. Л. Чебышевым (1887), но в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже А. А. Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляцуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова. Пусть Если отношение стремится к нулю при , то к последовательности (1) применима центральная П. Т. Окончательное решение вопроса об условиях применимости центральной П. Т. Получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (W. Feller, 1935). В условиях центральной П. Т. Относительная точность аппроксимации вероятности неравенства типа sn-An>znBn, где zn неограниченно растет вместо с n, величиной 1-Ф(zn) может быть весьма невысокой.

Необходимые для повышения точности поправочные множители указываются в П. Т. Для вероятностей больших отклонений (см. Больших отклонений вероятности, Крамера теорема). Вслед за Г. Крамером (Н. Cramer) и В. Феллером вопрос исследовался Ю. В. Линником и др. Типичные результаты, относящиеся к этой области, легче всего пояснить на примере сумм (2) независимых одинаково распределенных случайных величин Х 1 ,. ., Х п,. С EXj=0 и DXj=1;в этом случае An=0, Пусть, напр., рассматривается вероятность неравенства Эта вероятность равна 1-Fn(zn), где Fn(z) - функция распределения величины и при фиксированных zn=z и (3) Если zn зависит от п, причем так, что при , то и формула (3) становится бесполезной.

Необходимы оценки для относительной точности аппроксимации, т. .