Сложение

множеств - векторное сложение и нек-рые другие (ассоциативные и коммутативные) действия над множествами Ai. С. Рассматривается чаще всего для выпуклых множеств А i в евклидовом пространстве Rn. Векторная сумма (с коэффициентами li) определяется в линейном пространстве правилом где li - действительные числа (см. [1]). В пространстве векторная сумма наз. Также суммой Минковского. С зависимостью объема Sот li связана смешанных объемов теория. Для выпуклых А i С. Сохраняет выпуклость и сводится к С. опорных функций, а для С 2 -гладких строго выпуклых характеризуется С. Средних значений радиусов кривизны в точках с общей нормалью. Рассматриваются также. С. Множеств с точностью до сдвига. С. Замкнутых множеств, сопровождаемое замыканием результата (см.

Выпуклых множеств пространство);интегрирование континуального семейства множеств. С. В коммутативных полугруппах (см. [4]). р- суммы Файри определены в классе выпуклых тел , содержащих нуль. При опорная функция р-суммы определяется как , где Н i- опорные функции слагаемых. При выполняют (-р)-сложение полярных для А i тел и берут поляру результата (см. [2]). Р-сумма Файри непрерывна по Ai и р. Проекция р-суммы на подпространство есть р-сумма проекций. При р=1 сумма совпадает с векторной, при р=-1 наз. Инверсной суммой (см. [1], с. 38), при дает выпуклую оболочку слагаемых, при - их пересечение. При этих четырех значениях р-сумма многогранников есть многогранник. При р=+2сумма эллипсоидов есть эллипсоид (см. [2]). Сумма Бляшке определена для выпуклых тел , рассматриваемых с точностью до сдвига.

Определяется сложением поверхностных функций [3]. Сумма вдоль подпространства определена в векторном пространстве X, разложенном в прямую сумму подпространств Yи Z. Сумма Ai вдоль Yопределяется как где Yz - так сдвинутое Y, что (см. [1]). Лит.:[1] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, пер. С англ., М., 1973. [2] Firеу W. J., "Pacif. J. Math.", 1964, v. 14, p. 53-60. [3] eго же, "Ргос. Colloq. On Conv.", Copenhagen, 1965, Khh., 1967, p. 94 - 101. [4] Dinghas A., Minkowskische Summen und Integrate. Superadditive mengen-funktionale. Isoperimetrische Ungleichungen, P., 1961. В. П. Федотов.