Случайное Поле Обобщенное

обобщенный случайный процесс, - случайная функция на гладком многообразии G, типичными реализациями к-рой являются обобщенные функции, заданные на этом многообразии G. Точнее, пусть G- бесконечногладкое многообразие и D(G) -пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, определенных на G, с обычной топологией равномерной сходимости последовательностей равномерно финитных функций и всех их производных. Тогда на Gопределено С. П. О., если задано непрерывное линейное отображение пространства D(G)в пространство случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном пространстве с выделенной -алгеброй его подмножеств и вероятностной мерой определенной на снабжено топологией сходимости по мере [7].

В случае когда вероятностным пространствам является пространство D'(G)обобщенных функций на . С -алгеброй порожденной цилиндрич. Множествами в D'(G), а отображение задается формулами С. П. О. наз. Каноническим. Оказывается, что любое С. П. О. На конечномерном многообразии G вероятностно изоморфно нек-рому (единственному) канонич. Случайному полю на G (см. [2]). Приведенное здесь определение допускает ряд естественных модификаций. Напр., можно рассмотреть С. П. О. С векторными значениями или вместо пространства D(G) использовать в определении какое-нибудь более обширное пространство основных функций на G (скажем, в случае G=Rn, n=l, 2, 3, пространства .(Rn) бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными, быстрее любой отрицательной степени Понятие С.

П. О. Включает в себя классич. Случайные поля и процессы, реализациями к-рых являются обычные функции. Это понятие возникло в сер. 50-х гг. 20 в., когда обнаружилось, что многие естественные стохостич. Образования не могут быть достаточно просто выражены в терминах классических случайных полей, а на языке С. П. О. Имеют простое и изящное описание. Так, напр., любая положительно определенная билинейная форма на D(Rn), n=1, 2, . ., где W(x1, x2) - положительно определенная симметрическая обобщенная функция двух переменных, однозначно определяет гауссовское С. П. О. на Rn (с нулевым средним) так, что ковариация этого поля ( - соответствующая этому полю вероятностная мера в D'(Rn)). Это С. И. О. Оказывается классическим лишь при достаточно хорошей функции W(x1,x2) (напр., непрерывной и ограниченной).

Другие примеры. С. П. О. На Rn с независимыми значениями (см. [2]) или т. Н. Автомодельные случайные поля на Rn (см. [6]), среди к-рых вообще нет классич. Полей. Интерес к исследованию С. П. О. (особенное марковских случайных полей) возрос в последнее время из-за обнаруженной в нач. 70-х гг. Связи между задачей построения квантового физич. Поля и построением марковских С. П. О. На Rn при п>1 (см. [5]). Лит.:[1] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., . Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958. [2] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961. [3] Гельфанд И. М., лДокл. АН СССР.