Статистической Физики Математические Задачи

- задачи, возникающие при применении математич. Аппарата в статистич. Физике. С. Ф. М. З. В основном связаны с двумя направлениями статистич. Теории. С равновесной статистич. Механикой, основные математич. Проблемы к-рой связаны с разработкой методов расчета средних по равновесному Гиббса распределению (см. Статистической механики математические задачи) и с неравновесной статистич. Физикой, основные трудности к-рой составляют проблемы получения эволюционных уравнений для функций распределения, характеризующих систему на разных этапах ее эволюции, с последующим их решением (см., напр., Кинетическое уравнение, Броуновского движения процесс). В задачу методов равновесной статистнч. Механики входит расчет средних следующих типов (в случае использования канонич.

Распределения Гиббса). и т. Д., где Н - гамильтониан системы, - температура, A(t) - оператор в гейзенберговском временном представлении, Z - статистич. Сумма, связанная со свободной энергией системы соотношением (в случае использования большого канонич. Распределения вместо оператора Нфигурирует оператор где - химич. Потенциал, N - число частиц, вместо Z - большая статистич. Сумма, вместо F -- термодинамич. Потенциал и т. Д.). Расчет безвременных средних Zи <А> решает проблемы равновесной теории (все равновесные характеристики, такие, как внутренняя энергия, теплоемкость, уравнения состояния, статич. Восприимчивости и т. Д., определяются методами термодинамики, исходя из свободной энергии F), а также теории флуктуаций.

Расчет величин типа <ВА(t)> позволяет исследовать целый ряд динамических (зависящих от частоты) восприимчивостей системы, коэффициентов переноса и т. Д. А также исследовать особенности простейших возбуждений системы (в общем случае при их энергию, затухание и т. Д. Указанные средние рассчитываются до конца только в исключительных случаях. Для идеальных систем и для нек-рых специальных моделей. Эти расчеты в дальнейших исследованиях могут служить нулевым приближением. Наиболее часто рассматриваемыми моделями неидеальных статистич. Систем являются системы с прямым взаимодействием частиц друг с другом (взаимодействием конечного радиуса, кулоновским взаимодействием и др.), с взаимодействием частиц с, нолем типа фотонного (в твердом теле описывающего тепловое движение кристаллич.

Решетки), дискретные системы типа Изинга и гейзенберговского магнетика с взаимодействием узлов конечного радиуса действия, а также сочетания взаимодействий подобных типов. В представлении вторичного квантования гамильтониан H=H0+H1 в этих случаях выражается через квадратичные комбинации операторов рождения и уничтожения (в части H0 без взаимодействия), четвертную форму (рели H1 включает прямое взаимодействие частиц), тройную форму типа используемой в квантовой электродинамике (электронфотонное взаимодействие в H1) и т. Д. Приближенные методы расчета указанных средних в большинстве случаев основываются на добавлении поправок к результатам, полученным для случая H=H0 (если нулевое приближение в физич.

Отношении действительно является таковым), имеющих вид явного или модифицированного разложения по степеням параметра, определяющего интенсивность взаимодействия, включенного в гамильтониан H1. При сопоставлении рассматриваемой формальной модели с реальными системами в целом ряде случаев, имеющих прикладной интерес, параметр взаимодействия, по к-рому производится лразложение.