Алгебраическая функция

функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. Ф. Принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например, называются рациональными, а прочие А. Ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. Ф., выражаемые с помощью радикалов [например, Однако существуют А. Ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению. Y5 + 3ух4 + x5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. Н. Трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), встречающихся в школьном курсе алгебры, являются. Степенная xα (если α — иррациональное число), показательная ах, логарифмическая и т. Д. Общая теория А.

Ф. Представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (См. Аналитические функции) (А. Ф. Составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией (См. Алгебраическая геометрия). Самая общая А. Ф. Многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида. Ро(х, у, z, ...)un + P1(x, y, z, ...)un-1 + … +Pn(x, y, z, ...) = 0, (1) где Р0, Р1, ..., Pn — какие-либо многочлены относительно х, у, z,. Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,. И n. Его можно считать неприводимым, т. Е. Не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней. Кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю.

Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P0 = const ≠ 0). При n > 1 получается иррациональная функция. Если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня. Если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни. При n ≥ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. Ф. Всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,. Лит. Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.