Кватернионы

(от лат. Quaterni — по четыре) система чисел, предложенная в 1843 англ. Учёным У. Гамильтоном. К. Возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел (См. Комплексные числа) х + iy, где х и у— действительные числа, i — базисная единица с условием i2 = —1. Как известно, комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям). Поиски числовой системы, которая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3-мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства трёх и выше трёх измерений нельзя «устроить» числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения действительных или комплексных чисел.

Однако если отказаться от одного свойства — коммутативности (переместительности) умножения, — сохранив все остальные свойства сложения и умножения, то из точек пространства четырех измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и даже выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел). Числа, реализуемые в 4-мерном пространстве и называются кватернионами. К. Представляют собой линейную комбинацию четырёх «базисных единиц» 1, i, j, k. X=xo (1+x1+x2j+x3k, где хо, х1, x2, х3 — действительные числа. Действия над К. Производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться переместительным законом умножения) с учётом правил умножения базисных единиц, указанных в таблице -------------------------------------------- |  | 1 | i | j | k | |-------------------------------------------| | 1 | 1 | i | J | k | |-------------------------------------------| | I | i | -1  | k | -j | |-------------------------------------------| | j | j | -k  | -1  | i | |-------------------------------------------| | k | k | J | -i | Кватернионы.

| -------------------------------------------- Из таблицы видно, что 1 играет poль обычной единицы и, следовательно, в записи К. Может быть опущена. X=xo+x1i+x2j+x3k. (1) В К. (1) различают скалярную часть хо и векторную часть V= x1i +x2j+x3k, так что X=xo+V. Если хо = 0, то кватернион V наз. Вектором. Он может отождествляться с обычными 3-мерными Векторами. В середине 19 в. К. Воспринимались как обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были найдены приложения К. К электродинамике и механике. Однако Векторное исчисление в его современной форме вытеснило К. Из этих областей. Ясно, что роль К. Ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.

Лит. См. При ст. Гиперкомплексные числа. Таблица к ст. Кватернионы..