Линейная вектор-функция

функция f(x) векторного переменного х, обладающая следующими свойствами. 1) f(x + у) = f(x) + f(y), 2) f(λ x) = λ f(x) (λ — число). Л. В.-ф. В n-мерном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. В.-ф. Называют также линейным функционалом (См. Линейный функционал). В n-mepном пространстве она выражается линейной формой (См. Линейная форма), f(x) = a1x1 + a2x2 +. + anxn от координат x1, x2,..., xn вектора х. Примером скалярной Л. В.-ф. Является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а. F(x) = (а, х), в пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. В.-ф. Имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л.

В.-ф. Определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором (См. Линейный оператор), или аффинором. Векторная Л. В.-ф. У = f(x) в n-мерном пространстве выражается в координатах формулами. Y1 = a11x1 + a12x2 + . + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 + . + a2nxn, . yn = an1x1 + an2x2 + . + annxn. Здесь числа aij (i, j = 1, 2,..., n) составляют матрицу векторной Л. В.-ф. Если определить сумму векторных Л. В.-ф. F(x) и g(x) как Л. В.-ф. F(x) + g(x), а произведение тех же функций, как Л. В.-ф. G{f(x)}, то сумме и произведению векторных Л. В.-ф. Будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. В.-ф. Является Л. В.-ф. Вида. F(x) = (A1, х)a1 + (А2, х)a2 +. + (An, х)an, где A1, A2, ..., An, a1, a2, ...an — постоянные векторы.

В n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. В.-ф. Может быть представлена в таком виде. Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. В.-ф. Относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. Д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию Тензора. О Л. В.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ..