Сжатых отображений принцип

одно из основных положений теории метрических пространств (См. Метрическое пространство) о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. С. О. П. Применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение Ax = х. (*) Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. О. Вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число α < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство d (Ax, Ау) ≤ αd (х, у), где символ d (u, υ) означает расстояние между точками u и υ метрического пространства М. С. О. П. Утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями xn = Axn-1, n = 1,2,..., имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности. . С. О. П. Позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др.

Уравнений. В условиях применимости С. О. П. Решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом (См. Последовательных приближении метод). С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым. Лит. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959. Ш. А. Алимов..