Уравнения математической физики

дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. М. Ф. Характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. М. Ф. С расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. М. Ф. Уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений. Однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см.

Математическая физика). Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. М. Ф. Составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида. , (1) где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n ≥ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно λ) уравнения = 0, (2) и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу. Если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу.

Наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов. Если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др.

Отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими). Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна. Основные примеры уравнений математической физики. Волновое уравнение. – простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – Телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.

Лапласа уравнение. – простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение. Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение. – простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания. Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. Н. Уравнение Трикоми. Для этого уравнения полуплоскость .