Бибербаха Гипотеза

- предположение, высказанное в 1916 Л. Бибербахом [1]. Для всех функций классa S, т. Е. Для функций , регулярных и однолистных в круге и имеющих в нем разложение справедлива оценка причем только для функций Кёбе где - действительное число. Л. Бибербах доказал справедливость гипотезы только для . Задача нахождения точной оценки коэффициентов в классе S - частный случай коэффициентов проблемы. Б. Г. Простой формулировкой и глубиной привлекла внимание многих математиков и способствовала развитию различных методов геометрич. Теории функций комплексного переменного. К настоящему времени (1977) справедливость Б. Г. Установлена для Для n=3 она была впервые доказана К. Лёвнером ( ) в 1923 параметрич. Методом (см. Параметрических представлений метод);в дальнейшем появились и другие доказательства оценки , при к-рых использовались вариационный метод, параметрич.

Метод, метод экстремальных метрик. Для справедливость Б. Г. Была установлена впервые в 1955 посредством одновременного использования вариационного и. Параметрич. Методов. В 1960 с помощью условий однолистности Грунского оценка была получена значительно проще. Эта оценка была получена также методом вариаций и геометрич. Рассуждениями. В другом случае - с использованием неравенств Грунского в матричной форме. Для справедливость Б. Г. Доказана в 1968 с помощью неравенств Грунского, для - в 1972 вариационным методом. Среди других результатов, направленных на доказательства справедливости Б. Г., интересны следующие. У. Хейман [4] получил ряд результатов по асимптотич. Поведению коэффициентов при функций, p-листных в среднем в , в частности для класса S.

Он доказал, что существует предел и что со знаком равенства только для функций Кёбе. Ряд работ посвящен локальной гипотезе Бибербаха, т. Е. Доказательству того, что функция Кебе дает , по крайней мере для тех функций класса , к-рые близки к ней в соответствующей топологии (см. Однолистная функция). Установлено, что для каждого существует достаточно малое такое, что для функции , удовлетворяющей условию справедлива оценка причем только для . Оценка коэффициентов для всех , точная относительно порядка зависимости от , была впервые получена в 1925 Дж. Литлвудом (J. Littlewood) сведением оценки коэффициентов к оценке среднеинтегрального модуля. Более точные оценки были получены И. Е. Базилевичем , И. М. Милиным Лучшая к настоящему времени (1977) оценка получена в 1972 (см.

[7]). Обзор работ по Б. Г. См. В [2], с. 50, 187-90, 571-79, [3], с. 67-121. [9]. Лит.:[1] Bieberbach L., "Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl.", (916, S. 940-55. [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. [3] Ми лин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы, M.,1971;[4] Hayman W. К., "J. London Math. Soc.", 1965, v. 40, № 159, p. 385-406. [5] Оzawa M., "Kodai Math. Semin. Repts", 1969, v. 21, № 1-2, p. 97-132. [6] Pederson R. N., Schiffer М. М., "Arch. Bation. Mech. And Analysis", 1972, v. 4,5, к. 3, p. 161-93. [7] Fitzgerald С. Н., "Arch. Ration. Mech. And Analysis", 1972, v. 46, №5, p. 356-68. [8] Широков Н. А., "Зап. Науч. Семинаров ЛОМИ АН СССР", 1972, т. 24, с. 182-200. [9] Базилевич И. Е., в кн. Математика в СССР за 40 лет.

1917-1957, т. 1, М., 1959, с. 444 - 72. Е. Г. Голузина.