Булевозначная Модель

модель, определяемая следующим образом. Пусть - сигнатура нек-poro языка 1-й ступени с одним сортом переменных, т. Е. - множество символов функций и предикатов. Б. М. Наз. Тройка где - невырожденная булева алгебра, - непустое множество и - функция, определенная на W и такая, что если есть n-местный функциональный символ, и , если есть n-местный предикатный символ. Запись обозначает множество всех функций, определенных на со значениями в и , где - натуральное число. Булева алгебра BM наз. Множеством истинностных значений модели М. Множество наз. Универсумом модели М. Б. М. Мназ. Также S-моделью, если множество истинностных значений есть булева алгебра В, . Если булева алгебра Вдвухэлементна (т. Е. ), то S-модель Месть классическая двузначная модель.

Пусть - язык, пополненный новыми индивидными константами. Для каждого своя индивидная константа . Пусть Месть В-модель и - полная булева алгебра. Тогда нижеследующие равенства 1) - 8) определяют значение каждого замкнутого выражения е(т. Е. Формулы или терма без свободных переменных) языка . где - замкнутые термы и есть -местный функциональный или предикатный символ. Соотношения 1) - 8) определяют значение и для некоторых неполных булевых алгебр. Надо только, чтобы существовали бесконечные объединения и пересечения в 7) и 8). Понятие Б. М. Можно ввести и для языков со многими сортами переменных. В этом случае для каждого сорта переменных будет своя область изменения . Замкнутая формула наз. Истинной в В-модели , если В-модель Мназ.

Моделью теории , если для каждой аксиомы теории Т. Если hесть гомоморфизм булевой алгебры Вна булеву алгебру В', сохраняющий бесконеяные объединения и пересечения, то существует -модель такая, что для каждой замкнутой формулы языка . В случае, если универсум модели Мсчетен, то существует гомоморфизм h в булеву алгебру {0,1}, позволяющий переделать модель Мв классическую двузначную модель М' такую, что Доказано, что теория Тнепротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет Б. М. На этой теореме основано применение теории Б. М. К вопросам непротиворечивости аксиоматич. Теорий. Если Б. М. Теории Тстроится средствами другой аксиоматич. Теории S, то получается результат о непротиворечивости теории Тотносительно S.

Так, напр., результат П. Коэна (P. Cohen) о непротиворечивости теории относительно можно получить построением соответствующей Б. М. Средствами системы (см. Вынуждения метод). Построение коэновского отношения вынуждения равносильно построению такой Б. М. М, что Лит.:[1] Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. С англ., М., 1972. [2] Йех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер с англ., М., 1973;[3] Takeuti G., Zаring W. M., Axiomatic set theory, N. Y. [a.o.], (1973). [4] Манин Ю. И., в сб. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 5, М., 1975, с. 5-72. В. Н. Гришин.