Ветвления Точка

минимальной поверхности- особая точка минимальной поверхности, в к-рой первая квадратичная форма поверхности обращается в нуль. Тем самым фактически В. Т. Возможна лишь на обобщенной минимальной поверхности. Своим названием эта особая точка обязана тому факту, что в ее окрестности строение обобщенной минимальной поверхности подобно строению римановой поверхности функции над точкой , т. Е. Там обобщенная минимальная поверхность имеет мно-голистную ортогональную проекцию на нек-рую плоскую область, в к-рой проекция самой В. Т. Является внутренней точкой с единственным прообразом. В окрестности В. Т. координаты минимальной поверхности представимы в виде где - две комплексные постоянные, и - целые числа, соответственно называемые порядком и индексом В.

Т., ии v - внутренние изотермич. Координаты. На основании этого представления получена теорема. Если числа - взаимно простые, то минимальная поверхность имеет различных линий самопересечения, исходящих из В. Т. С определенными направлениями, причем все соседние направления образуют между собой равные углы. Различают два вида В. Т.- фальшивые В. Т. И истинные (-нефальшивые). Фальшивые В. Т. Представляют собой особенность отображения, определяющего поверхность, и от нее можно избавиться перепараметризацией (напр., если - регулярная минимальная поверхность, то обобщенная минимальная поверхность будет иметь в точке фальшивую В. Т.). Истинная В. Т. Представляет собой реальную особенность самой поверхности, и у нее есть следующее важное свойство.

В окрестности истинной В. Т. Поверхность можно изменить так, что новая поверхность, совпадая с исходной вне деформированной окрестности, будет иметь меньшую площадь по сравнению с исходной поверхностью. Теория обобщенных минимальных поверхностей с В. Т. Послужила основой для общей теории вложений с ветвлениями, развитой для широкого класса двумерных поверхностей в И. X Сабитов.