Вырожденная Гипергеометрическая Функция

функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения В. Г. Ф. Может быть определена с помощью так наз. Ряда Куммера. где и - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме - комплексное переменное. Функция наз. Вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1) наз. Вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода. В. Г. Ф. - целая аналитич. Функция во всей комплексной плоскости z. При фиксированном z - целая функция и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках В. Г. Ф. - аналитич. Функция в комплексной плоскости z с разрезом и целая функция и . В. Г. Ф. Связана с гипергеометрической функцией соотношением Элементарные соотношения.

Четыре функции и наз. Смежными с функцией . Между и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр., Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. Функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию с ассоциированными функциями где тип - целые числа. Формула дифференцирования. Основные интегральные представления. Асимптотич. Поведение В. Г. Ф. При может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] - [3]). Если , в то время как и ограничены, то поведение функции описывается формулой (2). В частности, при больших и ограниченных и . Представления функций через В.

Г. Ф. Функции Бесселя. Многочлены Лагерра. Интеграл вероятностей. Интегральная показательная функция. Интегральная логарифмическая функция. Гамма-функции. Элементарные функции. См. Также [1], [2], [3], [8]. Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. С англ.,2 изд., М., 1973. [2] Градштейн И.